Suponha que necessita de construir uma tabela de oito casas decimais para o logaritmo de base 10 de
a
, de tal forma que a interpolação linear seja precisa dentro de uma toletância de
. Determine um limite para o tamanho do passo para os nós para esta tabela.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado:
- Pede-se: determinar um limite para o tamanho do passo dos nós (chamemos de
) para uma tabela de no intervalo de até , de modo que a interpolação linear entre nós tenha erro no máximo . - Dados relevantes:
- Função considerada:
no intervalo . - Tolerância máxima do erro da interpolação linear:
. - Os nós serão espaçados com passo
constante; queremos um limite superior para .
- Função considerada:
Passo 2
Lembrete didático: fórmula do erro para interpolação linear e interpretação.
- Ao aproximar uma função
por interpolação linear entre dois nós e , existe uma \emph{fórmula do resto} (forma de Lagrange) que diz que, para cada no intervalo , existe entre e tal que
- O valor absoluto máximo de
no intervalo ocorre no ponto médio e vale . Logo, um limite superior para o erro absoluto máximo no intervalo é
- Conclusão prática: para garantir erro global ≤
em qualquer subintervalo, basta exigir
Aqui
.
Passo 3
Calculando as derivadas de
e encontrando
em
.
- Escrevemos
. Assim
- O valor absoluto é
- Em
a função é decrescente, logo o máximo de ocorre em . Portanto
Passo 4
Aplicando a desigualdade do erro para obter uma condição sobre
.
- Inserimos
e em
- Fica então
- Isolando
:
- Portanto
Passo 5
Avaliação numérica e interpretação prática (quantas subintervalos seriam necessários).
- Usando
, calculemos
- Assim
- Interpretação: o passo máximo que garante erro ≤
é aproximadamente . - Se quiser saber o número mínimo de subintervalos uniformes necessários no intervalo
: . Com temos
ou seja, cerca de
nós (inclusive as extremidades) para garantir a precisão desejada.