Suponha que necessita de construir uma tabela de oito casas decimais para o logaritmo de base 10 de x=1 a x=10, de tal forma que a interpolação linear seja precisa dentro de uma toletância de 10^{-6}. Determine um limite para o tamanho do passo para os nós para esta tabela.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se: determinar um limite para o tamanho do passo dos nós (chamemos de h) para uma tabela de \log_{10}x no intervalo de x=1 até x=10, de modo que a interpolação linear entre nós tenha erro no máximo \,10^{-6}.
  • Dados relevantes:
    • Função considerada: \log_{10}x no intervalo [1,10].
    • Tolerância máxima do erro da interpolação linear: 10^{-6}.
    • Os nós serão espaçados com passo h constante; queremos um limite superior para h.

Passo 2

Lembrete didático: fórmula do erro para interpolação linear e interpretação.
  • Ao aproximar uma função f por interpolação linear entre dois nós x_0 e x_1=x_0+h, existe uma \emph{fórmula do resto} (forma de Lagrange) que diz que, para cada x no intervalo [x_0,x_1], existe \xi entre x_0 e x_1 tal que
R(x)=f(x)-\bigl(\text{reta interpoladora em }[x_0,x_1]\bigr)=\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)(x-x_1).
  • O valor absoluto máximo de (x-x_0)(x-x_1) no intervalo ocorre no ponto médio x=\dfrac{x_0+x_1}{2} e vale \dfrac{h^2}{4}. Logo, um limite superior para o erro absoluto máximo no intervalo é
\max_{x\in[x_0,x_1]}|R(x)| \le \frac{\max_{t\in[x_0,x_1]}|f''(t)|}{2}\cdot\frac{h^2}{4}=\frac{h^2}{8}\max_{t\in[x_0,x_1]}|f''(t)|.
  • Conclusão prática: para garantir erro global ≤ \varepsilon em qualquer subintervalo, basta exigir
\frac{h^2}{8}\max_{t\in[1,10]}|f''(t)| \le \varepsilon.
Aqui \varepsilon=10^{-6}.

Passo 3

Calculando as derivadas de f(x)=\log_{10}x e encontrando \max|f''| em [1,10].
  • Escrevemos \log_{10}x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}. Assim
f'(x)=\frac{1}{x\ln 10}, \qquad f''(x)=-\frac{1}{x^2\ln 10}.
  • O valor absoluto é
|f''(x)|=\frac{1}{x^2\ln 10}.
  • Em [1,10] a função x\mapsto \dfrac{1}{x^2} é decrescente, logo o máximo de |f''(x)| ocorre em x=1. Portanto
\max_{t\in[1,10]}|f''(t)|=\frac{1}{1^2\ln 10}=\frac{1}{\ln 10}.

Passo 4

Aplicando a desigualdade do erro para obter uma condição sobre h.
  • Inserimos \max|f''|=1/\ln 10 e \varepsilon=10^{-6} em
\frac{h^2}{8}\max_{t\in[1,10]}|f''(t)| \le \varepsilon.
  • Fica então
\frac{h^2}{8}\cdot\frac{1}{\ln 10} \le 10^{-6}.
  • Isolando h^2:
h^2 \le 8\cdot 10^{-6}\cdot \ln 10.
  • Portanto
h \le \sqrt{8\cdot 10^{-6}\cdot \ln 10}.

Passo 5

Avaliação numérica e interpretação prática (quantas subintervalos seriam necessários).
  • Usando \ln 10\approx 2,302585093, calculemos
8\cdot 10^{-6}\cdot \ln 10 \approx 8\cdot 10^{-6}\cdot 2,302585093 \approx 1,8420680744\cdot 10^{-5}.
  • Assim
h \le \sqrt{1,8420680744\cdot 10^{-5}}\approx 0,0042912\\ (\text{aprox.}).
  • Interpretação: o passo máximo que garante erro ≤ 10^{-6} é aproximadamente h_{\max}\approx 0,0042912.
  • Se quiser saber o número mínimo de subintervalos uniformes necessários no intervalo [1,10]: N\ge \dfrac{10-1}{h_{\max}}. Com h_{\max}\approx 0,0042912 temos
N \approx \frac{9}{0,0042912}\approx 2099\\ \text{subintervalos},
ou seja, cerca de 2100 nós (inclusive as extremidades) para garantir a precisão desejada.

Resposta

h \le \sqrt{8\cdot 10^{-6}\cdot \ln 10}\approx 0,0042912

Exercícios relacionados