u(x,0)=f(x),\qquad u(x,b)=g(x)\quad(\text{bordos inferior e superior}).
Informações relevantes dadas:
A equação PDE é \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0.
Domínio retangular com 0<x<a e 0<y<b.
Condições de Dirichlet homogêneas nas bordas x=0 e x=a.
Condições de contorno não homogêneas (funções dadas) em y=0 e y=b: f(x) e g(x).
O que se pede: uma expressão explícita para u(x,y) válida para 0\le x\le a,\;0\le y\le b, em termos de f e g.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem cálculos ainda).
Como temos Laplace (equação linear e homogênea) e condições homogêneas em x=0 e x=a, a técnica natural é separação de variáveis: procurar soluções da forma u(x,y)=X(x)\,Y(y).
A condição homogênea em x sugere usar séries de senos em x (autofunções \sin), porque \sin satisfaz X(0)=X(a)=0.
Depois disso, representamos f e g como séries de seno (coeficientes obtidos por integrais usando ortogonalidade) e igualamos os coeficientes para determinar constantes da solução geral.
Agora fazemos a separação e resolvemos passo a passo.
Passo 3
Separação de variáveis: suponha
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo na PDE:
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.
Dividindo por X(x)Y(y) (assumindo não trivial):
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Isto implica que cada termo depende apenas de x ou de y, logo existe constante \lambda tal que
\frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\lambda.
Assim obtemos os dois ODEs acoplados:
X''(x)+\lambda X(x)=0,
Y''(y)-\lambda Y(y)=0.
Passo 4
Condições em x e valores próprios \lambda.
As condições u(0,y)=0 e u(a,y)=0 implicam X(0)=0 e X(a)=0.
Procuramos \lambda que permitem solução não trivial de X''+\lambda X=0 com essas condições.
Casos:
Se \lambda=0, então X''=0\Rightarrow X(x)=Ax+B. Com X(0)=0 e X(a)=0 vem B=0 e Aa+B=0\Rightarrow A=0. Só solução trivial — descarta.
Se \lambda<0, escrevendo \lambda=-\mu^2, então X''-\mu^2 X=0 e com BCs somente solução trivial — descarta.
Se \lambda>0, escrevendo \lambda=\left(\dfrac{n\pi}{a}\right)^2 com n\in\mathbb{N}, obtemos soluções não triviais:
Aqui A_n e B_n são constantes que dependem de n e serão determinadas a partir de f(x) e g(x).
Passo 7
Encontrar B_n\) a partir de \(u(x,0)=f(x)\).
Usando \(\operatorname{sinh}(0)=0\) e \(\operatorname{cosh}(0)=1\), em \(y=0\) a série vira
\[u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right)=f(x).
Logo f é representada pela série de senos com coeficientes B_n. Para obter B_n usamos a ortogonalidade das funções \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{a}x\right):
Comentário rápido (didático): o termo com \operatorname{cosh} garante que, em y=0, a soma reproduz f(x); o termo com \operatorname{sinh} ajusta a diferença entre g e o valor da soma de \operatorname{cosh} em y=b. Cada modo n decai/varia com y conforme as hiperbólicas, o que é típico de soluções de Laplace em retângulo.
Passo 10
Dicas práticas para a prova (como calcular na caneta):
Para obter f_n e g_n calcule as integrais usuais de Fourier de seno; muitas vezes f e g são funções simples (polinômios, constantes, senos/cossenos) e você consegue integrar à mão.
Se uma das bordas for zero (por exemplo g\equiv0), a fórmula simplifica porque g_n=0 e então