Resolva a equação de Laplace para uma placa retangular sujeita às condições de contorno indicadas:
\begin{gathered}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 \y=b \x=0 \quad \text { Placa } 0<x<a, 0<y<b \quad x=a \y=0\end{gathered}
\begin{aligned}& u(0, y)=0, \quad u(a, y)=0 \\& u(x, 0)=f(x), u(x, b)=g(x)\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução u(x,y) da equação de Laplace numa placa retangular com domínio
0<x<a,\qquad 0<y<b,
sujeita às condições de contorno:
u(0,y)=0,\qquad u(a,y)=0\quad(\text{bordos verticais}),
u(x,0)=f(x),\qquad u(x,b)=g(x)\quad(\text{bordos inferior e superior}).
Informações relevantes dadas:
  • A equação PDE é \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0.
  • Domínio retangular com 0<x<a e 0<y<b.
  • Condições de Dirichlet homogêneas nas bordas x=0 e x=a.
  • Condições de contorno não homogêneas (funções dadas) em y=0 e y=b: f(x) e g(x).
    O que se pede: uma expressão explícita para u(x,y) válida para 0\le x\le a,\;0\le y\le b, em termos de f e g.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem cálculos ainda).
  • Como temos Laplace (equação linear e homogênea) e condições homogêneas em x=0 e x=a, a técnica natural é separação de variáveis: procurar soluções da forma u(x,y)=X(x)\,Y(y).
  • A condição homogênea em x sugere usar séries de senos em x (autofunções \sin), porque \sin satisfaz X(0)=X(a)=0.
  • Depois disso, representamos f e g como séries de seno (coeficientes obtidos por integrais usando ortogonalidade) e igualamos os coeficientes para determinar constantes da solução geral.
    Agora fazemos a separação e resolvemos passo a passo.

Passo 3

Separação de variáveis: suponha
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo na PDE:
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.
Dividindo por X(x)Y(y) (assumindo não trivial):
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Isto implica que cada termo depende apenas de x ou de y, logo existe constante \lambda tal que
\frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\lambda.
Assim obtemos os dois ODEs acoplados:
X''(x)+\lambda X(x)=0,
Y''(y)-\lambda Y(y)=0.

Passo 4

Condições em x e valores próprios \lambda.
  • As condições u(0,y)=0 e u(a,y)=0 implicam X(0)=0 e X(a)=0.
  • Procuramos \lambda que permitem solução não trivial de X''+\lambda X=0 com essas condições.
    Casos:
  1. Se \lambda=0, então X''=0\Rightarrow X(x)=Ax+B. Com X(0)=0 e X(a)=0 vem B=0 e Aa+B=0\Rightarrow A=0. Só solução trivial — descarta.
  2. Se \lambda<0, escrevendo \lambda=-\mu^2, então X''-\mu^2 X=0 e com BCs somente solução trivial — descarta.
  3. Se \lambda>0, escrevendo \lambda=\left(\dfrac{n\pi}{a}\right)^2 com n\in\mathbb{N}, obtemos soluções não triviais:
X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right),\qquad \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2,\qquad n=1,2,3,\dots
Estas são as autofunções que satisfazem X(0)=X(a)=0.

Passo 5

Resolver a equação para Y(y) correspondente a \lambda_n.
Para \lambda_n=\left(\dfrac{n\pi}{a}\right)^2 temos
Y_n''(y)-\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 Y_n(y)=0.
A solução geral desta ODE (equação linear com coeficientes constantes) é uma combinação das funções hiperbólicas:
Y_n(y)=A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{a}y\right)+B_n\operatorname{cosh}\!\left(\frac{n\pi}{a}y\right),
onde \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} são as funções hiperbólicas definidas por
\operatorname{sinh} t=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2},\qquad \operatorname{cosh} t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}.
Observação útil: \operatorname{sinh}(0)=0 e \operatorname{cosh}(0)=1.

Passo 6

Montar a série que representa a solução geral (superposição linear).
Como a equação e as BCs são lineares, a solução geral é soma sobre os modos n:
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{a}y\right)+B_n\operatorname{cosh}\!\left(\frac{n\pi}{a}y\right)\Bigr]\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right).
Aqui A_n e B_n são constantes que dependem de n e serão determinadas a partir de f(x) e g(x).

Passo 7

Encontrar B_n\) a partir de \(u(x,0)=f(x)\). Usando \(\operatorname{sinh}(0)=0\) e \(\operatorname{cosh}(0)=1\), em \(y=0\) a série vira \[u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right)=f(x).
Logo f é representada pela série de senos com coeficientes B_n. Para obter B_n usamos a ortogonalidade das funções \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{a}x\right):
\int_{0}^{a}\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\sin\!\left(\frac{m\pi}{a}x\right)\,dx= \begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \dfrac{a}{2},& n=m. \end{cases}
Multiplicando f(x)=\sum B_n\sin(\frac{n\pi}{a}x)\] por \(\sin(\frac{m\pi}{a}x) e integrando de 0 a a, obtemos
B_m=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(x)\sin\!\left(\frac{m\pi}{a}x\right)\,dx.
Defina, para simplificar, os coeficientes de Fourier de f e g:
f_n:=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\,dx,\qquad n=1,2,\dots
Então B_n=f_n.]

Passo 8

Encontrar A_n a partir de u(x,b)=g(x).
Em y=b a série dá
u(x,b)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{a}b\right)+B_n\operatorname{cosh}\!\left(\frac{n\pi}{a}b\right)\Bigr]\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right)=g(x).
Expandindo g em seno:
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}g_n\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right), \qquad g_n:=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} g(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\,dx.
Comparando coeficientes do modo \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{a}x\right) obtemos, para cada n,
A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{a}b\right)+B_n\operatorname{cosh}\!\left(\frac{n\pi}{a}b\right)=g_n.
Como B_n=f_n, isolamos A_n:
A_n=\frac{g_n-f_n\operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{n\pi}{a}b\right)}{\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi}{a}b\right)},\qquad n=1,2,\dots
(Se \operatorname{sinh}(\tfrac{n\pi}{a}b)=0 não ocorre porque \operatorname{sinh} t=0 só em t=0, e aqui n\ge1 e b>0.)

Passo 9

Escrever a solução final juntando tudo.
Substituindo A_n e B_n na série geral obtemos a solução explícita:
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[f_n\operatorname{cosh}\!\left(\frac{n\pi}{a}y\right) +\frac{g_n-f_n\operatorname{cosh}\!\left(\frac{n\pi}{a}b\right)}{\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{a}b\right)}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{a}y\right)\right] \sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right),
com os coeficientes
f_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\,dx,\qquad g_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} g(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\,dx.
Comentário rápido (didático): o termo com \operatorname{cosh} garante que, em y=0, a soma reproduz f(x); o termo com \operatorname{sinh} ajusta a diferença entre g e o valor da soma de \operatorname{cosh} em y=b. Cada modo n decai/varia com y conforme as hiperbólicas, o que é típico de soluções de Laplace em retângulo.

Passo 10

Dicas práticas para a prova (como calcular na caneta):
  • Para obter f_n e g_n calcule as integrais usuais de Fourier de seno; muitas vezes f e g são funções simples (polinômios, constantes, senos/cossenos) e você consegue integrar à mão.
  • Se uma das bordas for zero (por exemplo g\equiv0), a fórmula simplifica porque g_n=0 e então
A_n=-f_n\frac{\operatorname{cosh}(\frac{n\pi}{a}b)}{\operatorname{sinh}(\frac{n\pi}{a}b)}.
  • Se f\equiv0 e g dado, então B_n=0 e A_n=g_n/\operatorname{sinh}(\frac{n\pi}{a}b).
  • Lembre-se da ortogonalidade para isolar coeficientes: sempre multiplique por \sin(\frac{m\pi}{a}x) e integre de 0 a a.

Resposta

u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[f_n\operatorname{cosh}\!\left(\frac{n\pi}{a}y\right) +\frac{g_n-f_n\operatorname{cosh}\!\left(\frac{n\pi}{a}b\right)}{\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{a}b\right)}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi}{a}y\right)\right] \sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right),
onde
f_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\,dx,\qquad g_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} g(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\,dx,\quad n=1,2,\dots

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