1.83 Considere o triângulo de vértices A(3,2,1), B(3,2,2) e C(3,3,2). Determine:
(a) Os ângulos do triang<= A B C;
(b) O vetor projeção do menor lado sobre o maior lado;
(c) A área do triang<= A B C;

Passo 1

O enunciado dá o triângulo com vértices
A(3,2,1), B(3,2,2) e C(3,3,2) e pede:
  • (a) os ângulos do triângulo;
  • (b) o vetor projeção do menor lado sobre o maior;
  • (c) a área do triângulo.
Vamos usar operações com vetores em R^3: diferença de pontos para obter lados, produto escalar para ângulos, projeção vetorial e produto vetorial para área.

Passo 2

Definimos os vetores dos lados:
AB = B - A = (0,0,1), AC = C - A = (0,1,1), BC = C - B = (0,1,0)
Seus comprimentos são
|AB| = 1, |AC| = raiz2, |BC| = 1
Logo o maior lado é AC e o menor (empate) é AB (ou BC). Vamos projetar AB sobre AC.

Passo 3

Para os ângulos usamos
costheta = ucdotv|u||v|
Ângulo em A entre AB e AC:
ABcdotAC = 1, cosang<= A = 11cdotraiz2 = 1raiz2 ;Longrightarrow; ang<= A = 45^circ
Ângulo em B entre BA=-AB e BC:
(-AB)cdotBC = 0 ;Longrightarrow; ang<= B = 90^circ
Como a soma deve dar 180^circ,
ang<= C = 180^circ - 45^circ - 90^circ = 45^circ

Passo 4

A projeção de AB sobre AC é
projAC(AB) = ABcdotAC|AC|^2,AC = 12,(0,1,1) = l(0,tfrac12,tfrac12r)

Passo 5

A área do triângulo é metade da norma do produto vetorial de dois lados, por exemplo ABtimesAC.
ABtimesAC = (-1,0,0), |ABtimesAC| = 1 ;Longrightarrow; área = tfrac12cdot1 = tfrac12 á

Resposta

(a) ang<= A=45^circ, ang<= B=90^circ, ang<= C=45^circ.
(b) projAC(AB) = (0,tfrac12,tfrac12).
(c) área = tfrac12á.

Exercícios relacionados