Considere a definição do número e :
e:=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}
Mostre os seguintes limites
\lim _{t \rightarrow 0}(1+t)^{1 / t}=e.

Passo 1

O enunciado define
e = \lim_{x \to \infty}\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)^{x}
e pede para mostrar que
\lim_{t \to 0}(1+t)^{1/t} = e.
O conteúdo usado será mudança de variável e propriedades de limites.

Passo 2

Calculemos o limite pela direita, t \to 0^+. Seja
x = \frac{1}{t},
então t = 1/x e t \to 0^+ implica x \to +\infty. Assim
(1+t)^{1/t} = \bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)^{x}
e, pela definição de e,
\lim_{t\to0^+}(1+t)^{1/t} = \lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)^{x} = e.

Passo 3

Calculemos o limite pela esquerda, t \to 0^-. Coloque
s = -\,t>0,
então t=-s e t\to0^- equivale a s\to0^+. Temos
(1+t)^{1/t} = (1-s)^{1/(-s)} = \bigl((1-s)^{1/s}\bigr)^{-1}.
Para s\to0^+ ponha m=1/s; então m\to\infty e
(1-s)^{1/s} = \bigl(1-\tfrac{1}{m}\bigr)^{m} \to \frac{1}{e}.
Logo
\lim_{t\to0^-}(1+t)^{1/t} = \lim_{s\to0^+}\bigl((1-s)^{1/s}\bigr)^{-1} = \bigl(\tfrac1e\bigr)^{-1} = e.

Passo 4

Como os limites lateral pela direita e pela esquerda coincidem em e, concluímos que
\lim_{t\to0}(1+t)^{1/t} = e.

Resposta

e

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