Dê uma definição, usando epsilon's e delta's se necessário, de \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=L quando
x_{0}=-\infty, L \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede a definição de
\lim_{x\to -\infty}f(x)=L,
sendo L\in\mathbb{R}.
Como não faz sentido usar \delta para “distância” até -\infty, trocamos a condição que envolve \delta por uma que envolve um ponto de corte no eixo real, que chamaremos de M.

Passo 2

A ideia é: ao fazermos x suficientemente negativo, o valor de f(x) fica tão próximo de L quanto quisermos. Formalmente, dizemos que
\lim_{x\to -\infty}f(x)=L
se, e somente se, para todo \epsilon>0 existe um número real M tal que, sempre que x<M, vale
\bigl|f(x)-L\bigr|<\epsilon.
Em outras palavras, dado um nível de precisão \epsilon, encontramos um limiar M para que todos os x menores que M garantam que f(x) esteja a menos de \epsilon de L.

Resposta

Para todo \epsilon>0 existe M\in\mathbb{R} tal que, se x<M, então
\bigl|f(x)-L\bigr|<\epsilon.

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