Considere a definição do número e :
e:=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}
Mostre os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1+\frac1x\Bigr)^{x}.
O conteúdo envolvido é o limite da forma (1+\tfrac1x)^x quando x tende a +\infty ou -\infty. Vamos usar uma mudança de variável que transforme o caso de x\to -\infty num limite conhecido para t\to+\infty.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = -\,x,
logo quando x\to -\infty temos t\to +\infty, e
1+\frac1x = 1 - \frac1t, \quad x = -\,t.
Assim
\Bigl(1+\frac1x\Bigr)^{x} = \Bigl(1 - \frac1t\Bigr)^{-\,t}.

Passo 3

Reescrevemos
\Bigl(1 - \frac1t\Bigr)^{-\,t} = \Bigl[\bigl(1 - \tfrac1t\bigr)^{t}\Bigr]^{-1}.
Conhecemos o limite fundamental
\lim_{t\to+\infty}\Bigl(1 - \frac1t\Bigr)^{t} = e^{-1},
pois em geral \lim_{n\to\infty}(1+\tfrac{u}{n})^{n}=e^{u} e aqui u=-1.

Passo 4

Portanto
\lim_{t\to+\infty}\Bigl[\bigl(1 - \tfrac1t\bigr)^{t}\Bigr]^{-1} = (e^{-1})^{-1} = e.
Como essa expressão é exatamente \lim_{x\to -\infty}(1+\tfrac1x)^{x}, concluímos o resultado buscado.

Resposta

\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1+\frac1x\Bigr)^{x} = e.

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