Dê uma definição, usando epsilon's e delta's se necessário, de \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=L quando
x_{0}=\infty, L=-\infty.

Passo 1

O enunciado pede a definição de
\lim_{x\to\infty}f(x) = -\infty,
isto é, queremos expressar rigorosamente que, ao levarmos x arbitrariamente grande, os valores de f(x) ficam arbitrariamente negativos. Para isso usamos quantificadores do tipo “para todo” e “existe”.

Passo 2

A definição é:
\lim_{x\to\infty}f(x) = -\infty
se, e somente se,
\forall M<0\;\exists R>0\;\text{tal que}\;\forall x>R:\;f(x)<M.

Resposta

\lim_{x\to\infty}f(x) = -\infty \quad\Longleftrightarrow\quad \forall M<0\;\exists R>0\;\forall x>R:\;f(x)<M.

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