1. Considere que a densidade de corrente cm um fio cilíndrico de raio R=5.0 mm é uniforme em uma seção transversal do fio e vale J=3,0 times 10^5 A / m^2. A) Qual a corrente que atravessa a porção externa do fio entre as distâncias radiais R/3 e R? b) Suponha, agora, que a densidade de corrente através de uma seção transversal do fio varie com a distância radial r seguindo J=a r^2, onde a=3,0 times 10^11 A / m^4 e r está em metros. Qual a corrente que atravessa a mesma porção do fio? (2,0 pontos)

Passo 1

O fio cilíndrico tem raio R=5,0,\mathrm{mm} = 5{,}0\times10^{-3},\mathrm{m}). Precisamos calcular a corrente que atravessa a região anelar entre r=R/3 e r=R em dois casos:
A) densidade de corrente uniforme J=3,0times10^5,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}).
B) densidade de corrente radial J(r)=a,r^2 com a=3,0times10^11,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{4}).

Passo 2

No caso de densidade uniforme, a corrente atravessando a seção anelar é
I =J;A =J,pil(R^2 - (R/3)^2r) =J,pi,R^2l(1 - tfrac19r) =J,pi,R^2,tfrac89

Passo 3

Substituindo J=3,0times10^5,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}) e R=5,0times10^-3,\mathrm{m}),
I = 3,0times10^5 times pi times (5,0times10^-3)^2 times 89 = 20pi3 approx 20,9 A

Passo 4

No caso J(r)=a,r^2, usamos a integral em coordenadas cilíndricas sobre a área anelar:
I =integralr=R/3^RJ(r),dA =integralR/3^Ra,r^2,(2pi r,dr) =2pi aintegralR/3^Rr^3,dr

Passo 5

Calculando a integral,
I =2pi al[tfracr^44r]R/3^R =pi a2l(R^4 - (R/3)^4r) =pi a,R^42l(1 - tfrac181r) =4081,pi,a,R^4

Passo 6

Com a=3,0times10^11,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{4}) e R=5,0times10^-3,\mathrm{m}) temos
a,R^4 = 3,0times10^11 times (5,0times10^-3)^4 = 187,5,
I = 40pi81 times 187,5 approx 291 A

Resposta

A) I approx 20,9,\mathrm{A}
B) I approx 291,\mathrm{A}

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