Uma bola homogênea, de massa
e raio
, rola suavemente, a partir do repouso, descendo uma rampa inclinada de ângulo
. (a) A bola desce uma distância vertical
para chegar à base da rampa. Qual é a velocidade da bola ao chegar à base da rampa? (Use
). Note que a resposta não depende de
nem de
. (b) Quais são o módulo e a orientação da força de atrito que age sobre a bola quando ela desce a rampa rolando? Note que precisamos da massa
mas não do raio
.
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera homogênea de massa
,kg e raio
que rola sem deslizar por uma rampa inclinada de ângulo
. Na parte (a) vamos usar conservação de energia entre a posição inicial (altura vertical
,m) e a base da rampa, lembrando que a energia potencial gravitacional
vira energia cinética de translação
mais energia cinética de rotação
com
e
. Na parte (b) vamos aplicar a segunda lei de Newton ao movimento translacional (
) e a equação do torque em torno do centro de massa (
), usando
para rolamento sem deslizamento.
Passo 2
Para a parte (a), escrevemos a conservação de energia:
Substituindo
e
obtemos
Passo 3
Isolando
da expressão
vem
Usando
,m/s² e
,m,
Passo 4
Para a parte (b), analisamos as forças paralelas à rampa: o peso tem componente
a descer e a força de atrito
(desconhecida) age para impedir deslizamento. Pela segunda lei de Newton,
Em seguida escrevemos o torque devido a
em torno do centro:
Passo 5
Substituindo
em
temos
Passo 6
Com
, o atrito vale
Para
e
,kg,
Passo 7
A direção da força de atrito é para cima da rampa, pois se opõe ao movimento de rolamento que tende a fazer a esfera deslizar para baixo sem girar.
Resposta
(a)
(b) , atuando para cima da rampa.
(b)