Uma bola homogênea, de massa M=6,00 kg e raio R, rola suavemente, a partir do repouso, descendo uma rampa inclinada de ângulo theta=30,0^circ. (a) A bola desce uma distância vertical h=1,20 m para chegar à base da rampa. Qual é a velocidade da bola ao chegar à base da rampa? (Use Icm=25 M R^2 ). Note que a resposta não depende de M nem de R. (b) Quais são o módulo e a orientação da força de atrito que age sobre a bola quando ela desce a rampa rolando? Note que precisamos da massa M mas não do raio R.

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera homogênea de massa M=6,00,kg e raio R que rola sem deslizar por uma rampa inclinada de ângulo theta=30,0^circ. Na parte (a) vamos usar conservação de energia entre a posição inicial (altura vertical h=1,20,m) e a base da rampa, lembrando que a energia potencial gravitacional Mgh vira energia cinética de translação tfrac12Mv^2 mais energia cinética de rotação tfrac12Icmomega^2 com Icm=tfrac25MR^2 e omega=v/R. Na parte (b) vamos aplicar a segunda lei de Newton ao movimento translacional ( sum F = Ma) e a equação do torque em torno do centro de massa ( sumtau = Icmalpha), usando alpha=a/R para rolamento sem deslizamento.

Passo 2

Para a parte (a), escrevemos a conservação de energia:
Mgh ;=;tfrac12,M,v^2 ;+;tfrac12,Icm,omega^2
Substituindo Icm=tfrac25MR^2 e omega=v/R obtemos
Mgh = tfrac12,M,v^2 + tfrac12l(tfrac25MR^2r)l(tfracv^2R^2r) = tfrac12Mv^2 + tfrac15Mv^2 = tfrac710Mv^2

Passo 3

Isolando v da expressão tfrac710Mv^2 = Mgh vem
v^2 = 107,gh Longrightarrow v = raiz107,g,h
Usando g=9,80,m/s² e h=1,20,m,
v = raiz107times9,80times1,20 approx4,09 m/s

Passo 4

Para a parte (b), analisamos as forças paralelas à rampa: o peso tem componente Mgsintheta a descer e a força de atrito f (desconhecida) age para impedir deslizamento. Pela segunda lei de Newton,
Mgsintheta - f = M,a
Em seguida escrevemos o torque devido a f em torno do centro:
f,R = Icm,alpha = l(tfrac25MR^2r)l(tfracaRr) = tfrac25,M,R,a Longrightarrow f = tfrac25,M,a

Passo 5

Substituindo f=tfrac25Ma em Mgsintheta - f = Ma temos
Mgsintheta - tfrac25Ma = M,a Longrightarrow Mgsintheta = M,a + tfrac25M,a = tfrac75M,a Longrightarrow a = 57,gsintheta

Passo 6

Com a=(5/7)gsintheta, o atrito vale
f = tfrac25,M,a = tfrac25,M;57,gsintheta = tfrac27,M,gsintheta
Para theta=30,0^circ e M=6,00,kg,
f = 27times6,00times9,80times12 =8,40 N

Passo 7

A direção da força de atrito é para cima da rampa, pois se opõe ao movimento de rolamento que tende a fazer a esfera deslizar para baixo sem girar.

Resposta

(a) v=raiztfrac107gh approx4,09 m/s
(b) f=tfrac27Mgsintheta approx8,40 N, atuando para cima da rampa.

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