Dois blocos idênticos, cada um com massa M, são ligados por uma corda leve que passa sobre uma polia de raio R e inércia rotacional I. A corda não escorrega sobre a polia e não se sabe se existe atrito ou não entre o nlano e o bloco que escorrega. Quando esse sistema é solto, verifica-se que a polia gira do ângulo theta durante o tervalo de tempo t e a aceleração dos blocos é constante. (a) Qual a aceleração angular da polia? (b) Qual a aceleração dos dois blocos? (c) Quais as trações nas porções superior e inferior da corda? Expresse todas as respostas em termos de M, I, R, theta, g e t.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema com dois blocos idênticos de massa M ligados por uma corda que passa sobre uma polia de raio R e momento de inércia I. Um bloco desliza (sobre um plano com atrito desconhecido) e o outro fica pendurado. Quando se solta o conjunto, observa-se que a polia gira um ângulo theta em um intervalo t com aceleração constante. Vamos usar dois ingredientes principais:
  1. Cinemática do movimento rotacional e tradução entre aceleração angular e linear.
  2. Equações de Newton para cada bloco e equação de torques para a polia.

Passo 2

Pela cinemática do movimento rotacional uniformemente acelerado, partindo do repouso, vale
theta = tfrac12,alpha,t^2
Isolando a aceleração angular alpha, obtemos
alpha = 2thetat^2

Passo 3

A aceleração linear a dos blocos está ligada à aceleração angular da polia por
a = alpha,R
Logo,
a = 2thetat^2;R = 2R,thetat^2

Passo 4

Denotemos Trm sup a tração na porção da corda que sustenta o bloco pendurado (lado superior) e Trm inf a tração na porção que puxa o bloco sobre o plano (lado inferior).
Para o bloco pendurado, aplicando sum F = M a na direção vertical (para baixo tomamos positiva):
M g - Trm sup = M a Longrightarrow Trm sup = Ml(g - ar)
Substituindo a:
Trm sup = M!l(g - 2R,thetat^2r)

Passo 5

Para a polia, o torque resultante é tau = (Trm sup-Trm inf),R e deve igualar I,alpha. Assim,
(Trm sup-Trm inf),R = I,alpha Longrightarrow Trm inf = Trm sup - I,alphaR
Substituindo alpha = 2theta/t^2 e o valor de Trm sup:
Trm inf = M!l(g - 2R,thetat^2r) - IR,2thetat^2 = M g - 2M R,thetat^2 - 2I,thetaR,t^2

Resposta

(a) alpha = 2thetat^2
(b) a = 2R,thetat^2
(c) Trm sup = M!l(g - 2R,thetat^2r), Trm inf = M g - 2M R,thetat^2 - 2I,thetaR,t^2

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