Considere que a densidade de corrente é dada por
em que
e
são vetores constantes.
- Verifique se esta densidade de corrente é compatível com a conservação da carga elétrica.
- Calcule o potencial vetor e o campo magnético.
Passo 1
O enunciado nos dá uma densidade de corrente estática
com
e
constantes. Vamos primeiro verificar a conservação de carga, ou seja, mostrar que
na ausência de variação de densidade de carga no tempo. Depois usaremos a Lei de Biot–Savart para obter o potencial vetor
e, em seguida, o campo magnético
.
Passo 2
Para verificar a equação de continuidade estática, calculamos
Usamos a identidade vetorial
Aqui
é constante, então
, e como
implica
, obtemos
Isso mostra que não há criação nem destruição de carga (continuidade satisfeita).
Passo 3
O potencial vetor em Coulomb (ou em gauge conveniente) para corrente estática é dado pela Lei de Biot–Savart na forma
Substituindo
e integrando por partes (transferindo
para
e trocando o sinal), achamos
Passo 4
Para obter o campo magnético, calculamos
onde
. Usando a identidade de dipolo magnético, chega-se ao resultado clássico
com
.
Resposta
A densidade de corrente satisfaz a equação de continuidade (
).
O potencial vetor é
O potencial vetor é
e o campo magnético resultante é