Considere que a densidade de corrente é dada por
j(r)=(a times nabla) de<a(r-r0)
em que a e r0 são vetores constantes.
  • Verifique se esta densidade de corrente é compatível com a conservação da carga elétrica.
  • Calcule o potencial vetor e o campo magnético.

Passo 1

O enunciado nos dá uma densidade de corrente estática
j(r)=(atimesnabla),de<al(r-r0r)
com a e r0 constantes. Vamos primeiro verificar a conservação de carga, ou seja, mostrar que
nablacdotj=0
na ausência de variação de densidade de carga no tempo. Depois usaremos a Lei de Biot–Savart para obter o potencial vetor A e, em seguida, o campo magnético B=nablatimesA.

Passo 2

Para verificar a equação de continuidade estática, calculamos
nablacdotj =nablacdotl(atimesnabla,de<a(r-r0)r)
Usamos a identidade vetorial
nablacdot(atimesF) =(nablatimesa)cdotF -acdot(nablatimesF)
Aqui a é constante, então nablatimesa=0, e como F=nablade<a implica nablatimes(nablade<a)=0, obtemos
nablacdotj =0-acdot0 =0
Isso mostra que não há criação nem destruição de carga (continuidade satisfeita).

Passo 3

O potencial vetor em Coulomb (ou em gauge conveniente) para corrente estática é dado pela Lei de Biot–Savart na forma
A(r) =mu04pi,integralj(r')lvert r-r'rvert,d^3r'
Substituindo j(r')=(atimesnabla'),de<a(r'-r0) e integrando por partes (transferindo nabla' para 1/lvertr-r'rvert e trocando o sinal), achamos
A(r) =mu04pi;l[-atimesnabla'1lvertr-r'rvertr]r'=r0 =mu04pi;atimesr-r0lvertr-r0rvert^3

Passo 4

Para obter o campo magnético, calculamos
B(r) =nablatimesA(r) =mu04pi;nablatimesl(atimesr-r0R^3r),
onde R=lvertr-r0rvert. Usando a identidade de dipolo magnético, chega-se ao resultado clássico
B(r) =mu04pi, 3,R,(acdotR)-aR^3,
com R=(r-r0)/R.

Resposta

A densidade de corrente satisfaz a equação de continuidade ( nablacdotj=0).
O potencial vetor é
A(r) =mu04pi;atimesr-r0lvertr-r0rvert^3,
e o campo magnético resultante é
B(r) =mu04pi, 3,R,(acdotR)-alvertr-r0rvert^3, R=r-r0lvertr-r0rvert

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