Uma casca esfêrica de raios a e b(b>a) possui magnetização uniforme M na direção do eixo z. Obtenha o potencial escalar magnético para pontos sobre o eixo z, internos e externamente à casca.

Passo 1

O enunciado trata de uma casca esférica de raios internos a e externos b que possui magnetização uniforme M=M,hat z. Queremos o potencial escalar magnético phim ao longo do eixo z, nas regiões interna ( r<a) e externa ( r>b). Para isso vamos usar duas ideias-chave da magnetostática: (i) magnetização uniforme pode ser vista como carga magnética superficial sigmam=Mcdothat n; (ii) aproveitar a superposição de dois esferas sólidas magnetizadas (raio b menos raio a).

Passo 2

Para uma esfera sólida de raio R e magnetização M=M,z temos as cargas magnéticas superficiais
sigmam(R)=Mcostheta
em r=R, onde theta é o ângulo polar. O potencial escalar resultante é conhecido:
phim(r,theta)= dfracM,R^33,dfraccosthetar^2,&r>R,[1em] dfracM,r3,costheta, &r<R ]

Passo 3

Vemos que a casca esférica entre a e b é igual à superposição
casca = l(esfera R=br);-;l(esfera R=ar)
Logo o potencial da casca será a diferença dos potenciais das esferas de raio b e a.

Passo 4

No eixo temos , mas vamos escrever para (o caso troca apenas o sinal).
Para (fora das duas esferas):
Para (região interna à casca):

Passo 5

Reunindo e incluindo o sinal de costheta (que é +1 para z>0 e -1 para z<0), no eixo z temos
phim(z)= 0,&|z|<a,[0.5em] dfracM,(b^3 - a^3)3,|z|^2,sgn(z),&|z|>b ]

Resposta

Para pontos sobre o eixo z temos
phim(z)= 0, & |z|<a,[0.7em] dfracM,(b^3 - a^3)3,z^2,sgn(z), & |z|>b ]

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