Considere a descrição do modelo de Bohr de um átomo de hidrogênio.
Mostre que
aproxima-se de
à medida que
se torna grande.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio. O objetivo é mostrar que a diferença de energia entre níveis consecutivos, $ E_{n+1} - E_n $, se aproxima de $ \frac{27,2, eV}{n^{3}} $ conforme $ n $ fica grande. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas de energia do modelo de Bohr e fazer algumas aproximações para valores grandes de $ n $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da energia dos níveis no modelo de Bohr para um átomo de hidrogênio:
Aqui, $ E_n $ é a energia do nível $ n $, e $ n $ é o número quântico principal.
Passo 3
Queremos encontrar a diferença entre dois níveis consecutivos, ou seja, $ E_{n+1} - E_n $. Vamos calcular isso usando a fórmula acima:
Então,
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão $ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} $. Expandindo $ (n+1)^2 $:
Portanto,
Passo 5
Quando $ n $ é muito grande, o termo $ +1 $ no numerador e no denominador se torna desprezível em comparação com os termos que envolvem $ n $. Então, podemos aproximar:
Substituindo essas aproximações na expressão:
Passo 6
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original para $ E_{n+1} - E_n $:
Resposta
Portanto, mostramos que $ E_{n+1} - E_n $ se aproxima de $ \frac{27,2, eV}{n^{3}} $ conforme $ n $ cresce. A diferença de energia entre níveis consecutivos no modelo de Bohr do átomo de hidrogênio é aproximadamente $ \frac{27,2, eV}{n^{3}} $ para $ n $ grande.