Considere que para se deslocar da cidade A para B existe três rotas (Alfa, Beta e Gama) Tales pretende se deslocar de A para B usando uma das três rotas. Por preferências pessoais, Tales usa a rota Alfa 10% das vezes, a rota Beta 70% das vezes e a rota Gama 20% das vezes. Tales não sabe disso, mas, no horário em que ele pretende se deslocar, as chances de que estas rotas estejam congestionadas são de 60 \%, 40 \% e 30 \%, respectivamente. Considerando que Tales tenha pego congestionamento no trajeto, qual a probabilidade de que ele tenha escolhido a rota Gama?

Passo 1

O enunciado nos dá as probabilidades de Tales escolher cada rota e as probabilidades de congestionamento em cada rota. As perguntas e dados são:
  • Pergunta: considerando que Tales tenha pego congestionamento no trajeto, qual a probabilidade de que ele tenha escolhido a rota Gama?
  • Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
    • Probabilidades de escolha das rotas:
      • P(R_{\text{Alfa}})=10\%.
      • P(R_{\text{Beta}})=70\%.
      • P(R_{\text{Gama}})=20\%.
    • Probabilidades de congestionamento em cada rota (condicionais):
      • P(C\mid R_{\text{Alfa}})=60\%.
      • P(C\mid R_{\text{Beta}})=40\%.
      • P(C\mid R_{\text{Gama}})=30\%.

Passo 2

Definição clara dos eventos que vamos usar (para não nos perder):
  • Seja R_{\text{Gama}} o evento “Tales escolheu a rota Gama”.
  • Seja C o evento “houve congestionamento no trajeto”.
    O que queremos é a probabilidade condicional
P(R_{\text{Gama}}\mid C),
ou seja, a probabilidade de que Tales tenha escolhido Gama dado que ocorreu congestionamento.

Passo 3

Converter as porcentagens em probabilidades (usei os dados do enunciado) e escrever os valores em notação decimal:
P(R_{\text{Alfa}})=0,1,\quad P(R_{\text{Beta}})=0,7,\quad P(R_{\text{Gama}})=0,2,
P(C\mid R_{\text{Alfa}})=0,6,\quad P(C\mid R_{\text{Beta}})=0,4,\quad P(C\mid R_{\text{Gama}})=0,3.
Explicação rápida do que cada termo significa:
  • P(R_{\text{Gama}}) é a chance a priori de escolher Gama (antes de saber se houve congestionamento).
  • P(C\mid R_{\text{Gama}}) é a chance de ocorrer congestionamento se a rota escolhida for Gama.
  • P(R_{\text{Gama}}\mid C) é o que queremos: a chance de ter escolhido Gama após saber que ocorreu congestionamento.

Passo 4

Calcular a probabilidade total de congestionamento P\text{(C)} usando a Regra da Probabilidade Total:
P\text{(C)}=P(C\mid R_{\text{Alfa}})P(R_{\text{Alfa}})+P(C\mid R_{\text{Beta}})P(R_{\text{Beta}})+P(C\mid R_{\text{Gama}})P(R_{\text{Gama}}).
Substituindo os valores (retirados do enunciado):
P\text{(C)}=0,6\cdot0,1 + 0,4\cdot0,7 + 0,3\cdot0,2.
Fazendo as contas passo a passo:
0,6\cdot0,1=0,06,
0,4\cdot0,7=0,28,
0,3\cdot0,2=0,06.
Somando:
P\text{(C)}=0,06+0,28+0,06=0,40.

Passo 5

Aplicar o Teorema de Bayes para obter P(R_{\text{Gama}}\mid C):
P(R_{\text{Gama}}\mid C)=\frac{P(C\mid R_{\text{Gama}})\,P(R_{\text{Gama}})}{P\text{(C)}}.
Substituindo os valores que já temos:
P(R_{\text{Gama}}\mid C)=\frac{0,3\cdot0,2}{0,40}=\frac{0,06}{0,40}.
Fazendo a divisão:
P(R_{\text{Gama}}\mid C)=0,15.

Passo 6

Interpretar o resultado e transformar em porcentagem:
0,15 = 15\%.
Intuição rápida: mesmo que a rota Gama tenha só 30\% de chance de congestionamento, Tales usa Gama apenas 20\% das vezes; por isso, dado que houve congestionamento, a probabilidade de ter sido na Gama fica relativamente baixa ( 15\%). Dá para checar que as contribuições ao congestionamento vieram mais da Beta ( 0,28 de 0,40), então Beta é a rota mais provável dado congestionamento.

Resposta

15\%

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