Considere que para se deslocar da cidade A para B existe três rotas (Alfa, Beta e Gama) Tales pretende se deslocar de A para B usando uma das três rotas. Por preferências pessoais, Tales usa a rota Alfa 10% das vezes, a rota Beta 70% das vezes e a rota Gama 20% das vezes. Tales não sabe disso, mas, no horário em que ele pretende se deslocar, as chances de que estas rotas estejam congestionadas são de
e
, respectivamente. Considerando que Tales tenha pego congestionamento no trajeto, qual a probabilidade de que ele tenha escolhido a rota Gama?
Passo 1
O enunciado nos dá as probabilidades de Tales escolher cada rota e as probabilidades de congestionamento em cada rota. As perguntas e dados são:
- Pergunta: considerando que Tales tenha pego congestionamento no trajeto, qual a probabilidade de que ele tenha escolhido a rota Gama?
- Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
- Probabilidades de escolha das rotas:
-
- Probabilidades de congestionamento em cada rota (condicionais):
-
- Probabilidades de escolha das rotas:
Passo 2
Definição clara dos eventos que vamos usar (para não nos perder):
- Seja
o evento “Tales escolheu a rota Gama”. - Seja
o evento “houve congestionamento no trajeto”.
O que queremos é a probabilidade condicional
ou seja, a probabilidade de que Tales tenha escolhido Gama dado que ocorreu congestionamento.
Passo 3
Converter as porcentagens em probabilidades (usei os dados do enunciado) e escrever os valores em notação decimal:
Explicação rápida do que cada termo significa:
-
é a chance a priori de escolher Gama (antes de saber se houve congestionamento). -
é a chance de ocorrer congestionamento se a rota escolhida for Gama. -
é o que queremos: a chance de ter escolhido Gama após saber que ocorreu congestionamento.
Passo 4
Calcular a probabilidade total de congestionamento
usando a Regra da Probabilidade Total:
Substituindo os valores (retirados do enunciado):
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Passo 5
Aplicar o Teorema de Bayes para obter
:
Substituindo os valores que já temos:
Fazendo a divisão:
Passo 6
Interpretar o resultado e transformar em porcentagem:
Intuição rápida: mesmo que a rota Gama tenha só
de chance de congestionamento, Tales usa Gama apenas
das vezes; por isso, dado que houve congestionamento, a probabilidade de ter sido na Gama fica relativamente baixa (
). Dá para checar que as contribuições ao congestionamento vieram mais da Beta (
de
), então Beta é a rota mais provável dado congestionamento.