Questão I6) Foram realizados testes sobre a força de tração em duas classes diferentes de ligas de alumínio usadas na fabricação de aviões de transporte comerciais. Pela experiência passada com o processo de fabricação de ligas e pelo procedimento de teste, se supõem conhecidos os desvios padrões das forças de tração. Os dados obtidos são apresentados na tabela abaixo:
| Classe de liga | Tamanho da amostra | Força de tração amostral média (kg / mm²) | Desvio padrão (kg / mm²) |
|---|---|---|---|
| 1 | 10 | 87,6 | 1,0 |
| 2 | 12 | 74,5 | 1,5 |
Se
representam as verdadeiras forças médias de tração para as duas classes de ligas, encontre um intervalo de confiança de
para a diferença das médias. Interprete o resultado.
Passo 1
O enunciado pede um intervalo de confiança de
para a diferença das médias
. Dados fornecidos (peguei todos da tabela do enunciado):
- Para a classe 1:
, (kg/mm ), (kg/mm ). - Para a classe 2:
, (kg/mm ), (kg/mm ).
O que se pede: construir um intervalo de confiança depara e interpretar o resultado.
Passo 2
Qual fórmula usar e por quê (aqui explico didaticamente).
Quando os desvios padrão populacionais e
são conhecidos, o intervalo de confiança para a diferença das médias
usa a distribuição normal padrão. A fórmula geral é
Quando os desvios padrão populacionais
onde:
-
e são as médias amostrais dadas; -
é o quantil da normal padrão correspondente ao nível de confiança (por exemplo, para temos e ); -
é o erro-padrão da diferença das médias, dado por
Explicando as peças:
é a variância da média amostral da primeira amostra;
é a variância da média amostral da segunda. Como as amostras são independentes, variâncias se somam para a diferença
.
Para
de confiança:
e
. O valor tabelado é
Passo 3
Calcular passo a passo o erro-padrão
. Substituindo os valores:
Somando:
Agora a raiz:
(para a prova, saber tirar raiz aproximada:
,
, então
fica entre
e
; calculando mais fino dá
— aceite duas ou três casas decimais).
Passo 4
Calcular a margem de erro e os extremos do intervalo. Diferença das médias amostrais:
Margem de erro:
Logo o intervalo é
Calculando os limites:
Passo 5
Interpretação e observações didáticas:
- O intervalo de confiança de
para é aproximadamente (kg/mm ). - Interpretação prática: com
de confiança, a verdadeira diferença das forças médias está entre e kg/mm . Ou seja, a classe 1 tem uma força média de tração maior que a classe 2 por cerca de a kg/mm . - Como o intervalo não contém
, há evidência clara de diferença positiva entre as médias (classe 1 > classe 2) com o nível de confiança usado. - Pressupostos importantes: as amostras são independentes; os desvios padrão populacionais foram considerados conhecidos (como dito no enunciado); e as amostras são provenientes de populações aproximadamente normais (ou, se n for grande, o TCL justificaria o uso de normal). Aqui
e são pequenos, então a normalidade da população torna-se uma hipótese relevante — o enunciado dá suporte a isso por tratar de processo controlado de fabricação.