Questão I6) Foram realizados testes sobre a força de tração em duas classes diferentes de ligas de alumínio usadas na fabricação de aviões de transporte comerciais. Pela experiência passada com o processo de fabricação de ligas e pelo procedimento de teste, se supõem conhecidos os desvios padrões das forças de tração. Os dados obtidos são apresentados na tabela abaixo:
Classe de liga Tamanho da amostra Força de tração amostral média (kg / mm²) Desvio padrão (kg / mm²)
1 10 87,6 1,0
2 12 74,5 1,5
Se \mu_{1} \mathrm{e} \mu_{2} representam as verdadeiras forças médias de tração para as duas classes de ligas, encontre um intervalo de confiança de 90 \% para a diferença das médias. Interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 90\% para a diferença das médias \mu_{1}-\mu_{2}. Dados fornecidos (peguei todos da tabela do enunciado):
  • Para a classe 1: n_{1}=10, \bar{x}_{1}=87,6 (kg/mm ^2), \sigma_{1}=1,0 (kg/mm ^2).
  • Para a classe 2: n_{2}=12, \bar{x}_{2}=74,5 (kg/mm ^2), \sigma_{2}=1,5 (kg/mm ^2).
    O que se pede: construir um intervalo de confiança de 90\% para \mu_{1}-\mu_{2} e interpretar o resultado.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (aqui explico didaticamente).
Quando os desvios padrão populacionais \sigma_{1} e \sigma_{2} são conhecidos, o intervalo de confiança para a diferença das médias \mu_{1}-\mu_{2} usa a distribuição normal padrão. A fórmula geral é
\text{IC}_{1-\alpha}\\ \text{para }\mu_{1}-\mu_{2}:\qquad (\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}) \pm z_{1-\alpha/2}\cdot \operatorname{SE},
onde:
  • \bar{x}_{1} e \bar{x}_{2} são as médias amostrais dadas;
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão correspondente ao nível de confiança (por exemplo, para 90\% temos \alpha=0,10 e z_{1-\alpha/2}=z_{0,95});
  • \operatorname{SE} é o erro-padrão da diferença das médias, dado por
\operatorname{SE}=\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}.
Explicando as peças: \sigma_{1}^{2}/n_{1} é a variância da média amostral da primeira amostra; \sigma_{2}^{2}/n_{2} é a variância da média amostral da segunda. Como as amostras são independentes, variâncias se somam para a diferença \bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}.
Para 90\% de confiança: \alpha=0,10 e z_{1-\alpha/2}=z_{0,95}. O valor tabelado é
z_{0,95}=1,645.

Passo 3

Calcular passo a passo o erro-padrão \operatorname{SE}. Substituindo os valores:
\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}=\frac{(1,0)^{2}}{10}=\frac{1}{10}=0,1,
\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}=\frac{(1,5)^{2}}{12}=\frac{2,25}{12}=0,1875.
Somando:
\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}=0,1+0,1875=0,2875.
Agora a raiz:
\operatorname{SE}=\sqrt{0,2875}\approx 0,5361.
(para a prova, saber tirar raiz aproximada: \sqrt{0,25}=0,5, \sqrt{0,36}=0,6, então \sqrt{0,2875} fica entre 0,5 e 0,6; calculando mais fino dá 0,536 — aceite duas ou três casas decimais).

Passo 4

Calcular a margem de erro e os extremos do intervalo. Diferença das médias amostrais:
\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=87,6-74,5=13,1.
Margem de erro:
E = z_{0,95}\cdot\operatorname{SE}=1,645\cdot 0,5361\approx 0,882.
Logo o intervalo é
13,1 \pm 0,882.
Calculando os limites:
\text{limite inferior}=13,1-0,882=12,218\approx 12,22,
\text{limite superior}=13,1+0,882=13,982\approx 13,98.

Passo 5

Interpretação e observações didáticas:
  • O intervalo de confiança de 90\% para \mu_{1}-\mu_{2} é aproximadamente (12,22;\;13,98) (kg/mm ^2).
  • Interpretação prática: com 90\% de confiança, a verdadeira diferença das forças médias \mu_{1}-\mu_{2} está entre 12,22 e 13,98 kg/mm ^2. Ou seja, a classe 1 tem uma força média de tração maior que a classe 2 por cerca de 12 a 14 kg/mm ^2.
  • Como o intervalo não contém 0, há evidência clara de diferença positiva entre as médias (classe 1 > classe 2) com o nível de confiança usado.
  • Pressupostos importantes: as amostras são independentes; os desvios padrão populacionais foram considerados conhecidos (como dito no enunciado); e as amostras são provenientes de populações aproximadamente normais (ou, se n for grande, o TCL justificaria o uso de normal). Aqui n_{1}=10 e n_{2}=12 são pequenos, então a normalidade da população torna-se uma hipótese relevante — o enunciado dá suporte a isso por tratar de processo controlado de fabricação.

Resposta

(12,22;\;13,98)\\ \text{kg/mm}^2

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