Um agrônomo estuda certa espécie de árvore frutífera e sabe que, quando essa árvore produz uma flor, existe uma chance de
de que essa flor se torne fruto. Sabendo que uma dessas árvores produziu 6 flores, qual a probabilidade de que dessa floração surjam pelo menos 5 frutos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- A cada flor há uma chance de
de virar fruto. Ou seja, a probabilidade de sucesso em cada flor é . - A árvore produziu
flores. Ou seja, o número de ensaios é . - A pergunta: qual a probabilidade de que, dessa floração, surjam pelo menos
frutos? Em outras palavras, queremos a probabilidade de obter pelo menos sucessos em ensaios independentes com probabilidade .
Passo 2
Vamos modelar a situação com uma variável aleatória que conta o número de frutos gerados pelas
flores. A ideia é:
- Cada flor é um ensaio independente com apenas dois resultados relevantes: “fruto” (sucesso) com probabilidade
ou “não fruto” (falha) com probabilidade . - A variável que conta o número de frutos em
flores segue a distribuição binomial. A próxima etapa explica a fórmula da binomial de forma didática.
Passo 3
Fórmula da distribuição binomial (explicando cada símbolo):
Onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de frutos. -
é o número de ensaios (aqui ). -
é o número de sucessos específicos que queremos (aqui usaremos e ). -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ). -
é o número de maneiras de escolher quais flores (de ) serão frutos, chamado coeficiente binomial.
Breve explicação do coeficiente binomial:
onde
(fatorial de
) é o produto
. Esse número conta de quantas formas diferentes se pode escolher
sucessos entre
ensaios.
Passo 4
Como queremos "pelo menos
" frutos, isso significa
. Em distribuição discreta isso é soma de duas probabilidades:
Vamos calcular
e
separadamente.
Passo 5
Calcular os coeficientes binomiais necessários:
Passo 6
Calcular as potências de
e
. Aqui
e
. Vamos obter potências úteis:
(esses valores obtidos multiplicando sequencialmente: por exemplo
.)
Passo 7
Calcular
com a fórmula:
Substituindo os números:
Primeiro calcule
. Então
Passo 8
Calcular
:
Passo 9
Somar as duas probabilidades para obter
:
Em porcentagem, isso corresponde a
.