Um agrônomo estuda certa espécie de árvore frutífera e sabe que, quando essa árvore produz uma flor, existe uma chance de 80 \% de que essa flor se torne fruto. Sabendo que uma dessas árvores produziu 6 flores, qual a probabilidade de que dessa floração surjam pelo menos 5 frutos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A cada flor há uma chance de 80\% de virar fruto. Ou seja, a probabilidade de sucesso em cada flor é p=0,8.
  • A árvore produziu 6 flores. Ou seja, o número de ensaios é n=6.
  • A pergunta: qual a probabilidade de que, dessa floração, surjam pelo menos 5 frutos? Em outras palavras, queremos a probabilidade de obter pelo menos 5 sucessos em 6 ensaios independentes com probabilidade p=0,8.

Passo 2

Vamos modelar a situação com uma variável aleatória que conta o número de frutos gerados pelas 6 flores. A ideia é:
  • Cada flor é um ensaio independente com apenas dois resultados relevantes: “fruto” (sucesso) com probabilidade p ou “não fruto” (falha) com probabilidade 1-p.
  • A variável que conta o número de frutos em n flores segue a distribuição binomial. A próxima etapa explica a fórmula da binomial de forma didática.

Passo 3

Fórmula da distribuição binomial (explicando cada símbolo):
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Onde:
  • X é a variável aleatória que conta o número de frutos.
  • n é o número de ensaios (aqui n=6).
  • k é o número de sucessos específicos que queremos (aqui usaremos k=5 e k=6).
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui p=0,8).
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k flores (de n) serão frutos, chamado coeficiente binomial.
Breve explicação do coeficiente binomial:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é o produto n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Esse número conta de quantas formas diferentes se pode escolher k sucessos entre n ensaios.

Passo 4

Como queremos "pelo menos 5" frutos, isso significa X\ge 5. Em distribuição discreta isso é soma de duas probabilidades:
P(X\ge 5)=P(X=5)+P(X=6).
Vamos calcular P(X=5) e P(X=6) separadamente.

Passo 5

Calcular os coeficientes binomiais necessários:
\binom{6}{5}=\frac{6!}{5!\,1!}=\frac{6\cdot5!}{5!\cdot1}=6, \qquad \binom{6}{6}=\frac{6!}{6!\,0!}=1.

Passo 6

Calcular as potências de p e 1-p. Aqui p=0,8 e 1-p=0,2. Vamos obter potências úteis:
(0,8)^2=0,64, \qquad (0,8)^3=0,512, \qquad (0,8)^4=0,4096,
(0,8)^5=0,32768, \qquad (0,8)^6=0,262144.
(esses valores obtidos multiplicando sequencialmente: por exemplo (0,8)^5=(0,8)^4\cdot0,8=0,4096\cdot0,8=0,32768.)

Passo 7

Calcular P(X=5) com a fórmula:
P(X=5)=\binom{6}{5}\,(0,8)^{5}\,(0,2)^{1}.
Substituindo os números:
P(X=5)=6\cdot 0,32768 \cdot 0,2.
Primeiro calcule 0,32768\cdot0,2=0,065536. Então
P(X=5)=6\cdot 0,065536=0,393216.

Passo 8

Calcular P(X=6):
P(X=6)=\binom{6}{6}\,(0,8)^{6}\,(0,2)^{0}=1\cdot 0,262144\cdot 1=0,262144.

Passo 9

Somar as duas probabilidades para obter P(X\ge5):
P(X\ge5)=P(X=5)+P(X=6)=0,393216+0,262144=0,65536.
Em porcentagem, isso corresponde a 65,536\%.

Resposta

\,0,65536\;(\text{ou }65{,}536\%)

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