Considere que para se deslocar da cidade A para B existe três rotas (Alfa, Beta e Gama) Tales pretende se deslocar de A para B usando uma das três rotas. Por preferências pessoais, Tales usa a rota Alfa 10% das vezes, a rota Beta 70% das vezes e a rota Gama 20% das vezes. Tales não sabe disso, mas, no horário em que ele pretende se deslocar, as chances de que estas rotas estejam congestionadas são de
e
, respectivamente. Qual é a probabilidade de que Tales pegue congestionamento em seu trajeto?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Existem três rotas possíveis: Alfa, Beta e Gama.
- As probabilidades de Tales escolher cada rota (peguei esses números do enunciado) são:
-
- As probabilidades de que cada rota esteja congestionada no horário em questão (peguei esses números do enunciado) são:
-
O que o problema pede: calcular a probabilidade de que Tales pegue congestionamento em seu trajeto, ou seja
.
Passo 2
Modelagem dos eventos e notação (explicando devagar para ficar claro).
- Defino os eventos:
-
: escolher a rota Alfa. -
: escolher a rota Beta. -
: escolher a rota Gama. -
: ocorrer congestionamento no trajeto.
-
- Os valores conhecidos (peguei do enunciado) são:
-
. -
.
-
Observação didática: como as três rotas cobrem todas as possibilidades de escolha de Tales e são mutuamente exclusivas (ele só pode escolher uma), os eventos
,
e
formam uma partição do espaço amostral. Isso permite usar uma soma ponderada para obter
.
Passo 3
Apresento a ferramenta que vamos usar e explico por que ela vale: a Lei da Probabilidade Total.
- Fórmula geral: se
é uma partição do espaço amostral, então
- Intuição simples: a probabilidade de
é a soma das contribuições vindas de cada caminho (rota): a chance de escolher a rota multiplicada pela chance de congestionamento nessa rota, somando tudo.
No nosso caso isso vira
Passo 4
Aplicando a fórmula com os números dados — vou fazer as contas passo a passo, sem pular etapas.
Calcule cada produto:
Agora some as contribuições:
Passo 5
Interpretação e forma alternativa de ver (dica prática para prova).
-
significa que a probabilidade de Tales pegar congestionamento é . - Intuição rápida: pense em “pontos percentuais” que cada rota contribui:
- Alfa:
de uso de congestão = pontos percentuais. - Beta:
de uso = pontos percentuais. - Gama:
de uso = pontos percentuais. - Soma =
pontos percentuais = .
- Alfa:
Força aí — é só uma média ponderada das taxas de congestionamento com pesos dados pela preferência de rotas.