Considere que para se deslocar da cidade A para B existe três rotas (Alfa, Beta e Gama) Tales pretende se deslocar de A para B usando uma das três rotas. Por preferências pessoais, Tales usa a rota Alfa 10% das vezes, a rota Beta 70% das vezes e a rota Gama 20% das vezes. Tales não sabe disso, mas, no horário em que ele pretende se deslocar, as chances de que estas rotas estejam congestionadas são de 60 \%, 40 \% e 30 \%, respectivamente. Qual é a probabilidade de que Tales pegue congestionamento em seu trajeto?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Existem três rotas possíveis: Alfa, Beta e Gama.
  • As probabilidades de Tales escolher cada rota (peguei esses números do enunciado) são:
    • P(\text{Alfa}) = 10\% = 0,10
    • P(\text{Beta}) = 70\% = 0,70
    • P(\text{Gama}) = 20\% = 0,20
  • As probabilidades de que cada rota esteja congestionada no horário em questão (peguei esses números do enunciado) são:
    • P(\text{Congestão}\mid\text{Alfa}) = 60\% = 0,60ã
    • P(\text{Congestão}\mid\text{Beta}) = 40\% = 0,40ã
    • P(\text{Congestão}\mid\text{Gama}) = 30\% = 0,30ã
O que o problema pede: calcular a probabilidade de que Tales pegue congestionamento em seu trajeto, ou seja P(\text{Congestão})ã.

Passo 2

Modelagem dos eventos e notação (explicando devagar para ficar claro).
  • Defino os eventos:
    • A: escolher a rota Alfa.
    • B: escolher a rota Beta.
    • G: escolher a rota Gama.
    • C: ocorrer congestionamento no trajeto.
  • Os valores conhecidos (peguei do enunciado) são:
    • P(A)=0,10,\; P(B)=0,70,\; P(G)=0,20.
    • P(C\mid A)=0,60,\; P(C\mid B)=0,40,\; P(C\mid G)=0,30.
Observação didática: como as três rotas cobrem todas as possibilidades de escolha de Tales e são mutuamente exclusivas (ele só pode escolher uma), os eventos A, B e G formam uma partição do espaço amostral. Isso permite usar uma soma ponderada para obter P\text{(C)}.

Passo 3

Apresento a ferramenta que vamos usar e explico por que ela vale: a Lei da Probabilidade Total.
  • Fórmula geral: se \{E_i\} é uma partição do espaço amostral, então
P\text{(C)}=\sum_{i} P(E_i)\,P(C\mid E_i).
  • Intuição simples: a probabilidade de C é a soma das contribuições vindas de cada caminho (rota): a chance de escolher a rota multiplicada pela chance de congestionamento nessa rota, somando tudo.
No nosso caso isso vira
P\text{(C)}=P(A)P(C\mid A)+P(B)P(C\mid B)+P(G)P(C\mid G).

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números dados — vou fazer as contas passo a passo, sem pular etapas.
Calcule cada produto:
P(A)P(C\mid A)=0,10\cdot0,60=0,06.
P(B)P(C\mid B)=0,70\cdot0,40=0,28.
P(G)P(C\mid G)=0,20\cdot0,30=0,06.
Agora some as contribuições:
P\text{(C)}=0,06+0,28+0,06=0,40.

Passo 5

Interpretação e forma alternativa de ver (dica prática para prova).
  • P\text{(C)}=0,40 significa que a probabilidade de Tales pegar congestionamento é 40\%.
  • Intuição rápida: pense em “pontos percentuais” que cada rota contribui:
    • Alfa: 10\% de uso \times 60\% de congestão = 6 pontos percentuais.
    • Beta: 70\% de uso \times 40\% = 28 pontos percentuais.
    • Gama: 20\% de uso \times 30\% = 6 pontos percentuais.
    • Soma = 6+28+6=40 pontos percentuais = 40\%.
Força aí — é só uma média ponderada das taxas de congestionamento com pesos dados pela preferência de rotas.

Resposta

40\%

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