Considere que o desvio padrão da concentração de uma solução de ácido acético (em
) seja
. Uma amostra de
medições é considerada, cuja média amostral foi
. a) Construir um IC com
de confiança para a verdadeira média
da concentração. b) Interprete o resultado. c) Recalcule o tamanho de amostra para uma margem de erro
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede três coisas:
- Dados fornecidos:
(desvio padrão da população),
(tamanho da amostra),
(média amostral),
nível de confiança. - Perguntas:
a) Construir um intervalo de confiança (IC) depara a verdadeira média .
b) Interpretar o resultado (explicar o que significa esse intervalo).
c) Recalcular o tamanho de amostra necessário para obter margem de errocom o mesmo nível de confiança .
Passo 2
Explicação passo a passo das fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
- Quando conhecemos o desvio padrão da população
, o IC para a média com nível de confiança usa a distribuição normal padrão. A fórmula geral é:
Aqui:
-
é a média amostral (a estimativa pontual de ). -
é o quantil da distribuição normal padrão que deixa área à direita (por exemplo, para de confiança e ). -
é o desvio padrão da população. -
é o tamanho da amostra. -
O termo
chama-se erro padrão da média (standard error): é a estimativa da variabilidade da média amostral entre amostras repetidas. -
Como escolher
para :
Parade confiança, e . O valor crítico é
pois a área à direita de
na normal padrão é
.
- Margem de erro
:
Em problemas de planejamento (parte c) a fórmula para tamanho de amostra desejado, isolando
é:
Explico: queremos que
; isolando
e elevando ao quadrado chegamos à fórmula acima.
Passo 3
Cálculo do intervalo de confiança (parte a):
- Primeiro calcule o erro padrão:
- Calcule a margem de erro com
:
- Agora o IC de
é
- Calcule os limites:
Portanto o intervalo numérico ficou
.
Passo 4
Interpretação cuidadosa do resultado (parte b) — linguagem clara e sem truques:
-
O que podemos afirmar: com base no procedimento usado, se repetíssemos muitas vezes o processo de coletar amostras de tamanho
e construíssemos para cada amostra um IC de usando a mesma fórmula, aproximadamente desses intervalos construídos conteriam a verdadeira média . Por isso dizemos que estamos “95% confiantes” de que o intervalo obtido a partir desta amostra específica contém . -
O que NÃO podemos afirmar: não faz sentido dizer que “há probabilidade
de que esteja dentro deste intervalo” no contexto frequentista, porque é um valor fixo desconhecido (não uma variável aleatória). O que muda é o procedimento: ele tem de sucesso a longo prazo. -
Interpretação prática para o problema: com os dados fornecidos, podemos razoavelmente afirmar que a verdadeira concentração média de ácido acético está entre
e com um nível de confiança de . Isso é útil para decisões experimentais ou controle de qualidade — por exemplo, sabemos que a média não difere de de forma clara se esse valor estivesse fora do intervalo, etc.
Passo 5
Cálculo do tamanho de amostra requerido para margem de erro
(parte c):
- Usamos a fórmula
- Substituindo
, e :
- Calcule passo a passo:
- Como
deve ser inteiro e precisamos garantir que a margem de erro desejada NÃO seja ultrapassada, arredondamos para cima:
Passo 6
Observações finais e incentivo rápido:
- Resultado razoável: aumentar a precisão (reduzir
) exige aumentar . Aqui para reduzir de (obtido com ) para precisamos de , um aumento moderado. - Você conseguiu chegar até aqui — foco nas fórmulas chave: IC com
conhecido, erro padrão e fórmula de . Repete os cálculos à mão mais uma vez para fixar.
Resposta
(a) Intervalo de confiança de
:
(b) Interpretação: com o procedimento usado, estamos confiantes de que a verdadeira média
está entre
e
; em termos frequencistas, se repetíssemos o processo muitas vezes, cerca de
dos intervalos construídos conteriam
.
(c) Tamanho de amostra necessário para e
de confiança:
.
(b) Interpretação: com o procedimento usado, estamos
(c) Tamanho de amostra necessário para