Considere que o desvio padrão da concentração de uma solução de ácido acético (em \mathrm{mol} / \mathrm{L} ) seja \sigma=0,015 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Uma amostra de n=36 medições é considerada, cuja média amostral foi 0,512 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. a) Construir um IC com 95 \% de confiança para a verdadeira média \mu da concentração. b) Interprete o resultado. c) Recalcule o tamanho de amostra para uma margem de erro E=0.0039 .(2,0)

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede três coisas:
  • Dados fornecidos:
    \sigma=0{,}015\\ \mathrm{mol/L} (desvio padrão da população),
    n=36 (tamanho da amostra),
    \bar{x}=0{,}512\\ \mathrm{mol/L} (média amostral),
    nível de confiança 95\%.
  • Perguntas:
    a) Construir um intervalo de confiança (IC) de 95\% para a verdadeira média \mu.
    b) Interpretar o resultado (explicar o que significa esse intervalo).
    c) Recalcular o tamanho de amostra necessário para obter margem de erro E=0{,}0039 com o mesmo nível de confiança 95\%.

Passo 2

Explicação passo a passo das fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Quando conhecemos o desvio padrão da população \sigma, o IC para a média \mu com nível de confiança 1-\alpha usa a distribuição normal padrão. A fórmula geral é:
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (a estimativa pontual de \mu).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que deixa área \alpha/2 à direita (por exemplo, para 95\% de confiança \alpha=0{,}05 e z_{0{,}025}=1{,}96).
  • \sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.
  • O termo \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} chama-se erro padrão da média (standard error): é a estimativa da variabilidade da média amostral entre amostras repetidas.
  • Como escolher z_{\alpha/2} para 95\%:
    Para 95\% de confiança, \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025. O valor crítico é
z_{0{,}025}=1{,}96,
pois a área à direita de 1{,}96 na normal padrão é 0{,}025.
  • Margem de erro E:
E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Em problemas de planejamento (parte c) a fórmula para tamanho de amostra desejado, isolando n é:
n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}.
Explico: queremos que z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}\le E; isolando \sqrt{n} e elevando ao quadrado chegamos à fórmula acima.

Passo 3

Cálculo do intervalo de confiança (parte a):
  • Primeiro calcule o erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}015}{\sqrt{36}}=\frac{0{,}015}{6}=0{,}0025.
  • Calcule a margem de erro com z_{0{,}025}=1{,}96:
E = 1{,}96\cdot 0{,}0025 = 0{,}0049.
  • Agora o IC de 95\% é
\bar{x}\pm E = 0{,}512 \pm 0{,}0049.
  • Calcule os limites:
\text{limite inferior}=0{,}512-0{,}0049=0{,}5071,
\text{limite superior}=0{,}512+0{,}0049=0{,}5169.
Portanto o intervalo numérico ficou (0{,}5071,\;0{,}5169)\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 4

Interpretação cuidadosa do resultado (parte b) — linguagem clara e sem truques:
  • O que podemos afirmar: com base no procedimento usado, se repetíssemos muitas vezes o processo de coletar amostras de tamanho n=36 e construíssemos para cada amostra um IC de 95\% usando a mesma fórmula, aproximadamente 95\% desses intervalos construídos conteriam a verdadeira média \mu. Por isso dizemos que estamos “95% confiantes” de que o intervalo obtido a partir desta amostra específica contém \mu.
  • O que NÃO podemos afirmar: não faz sentido dizer que “há probabilidade 95\% de que \mu esteja dentro deste intervalo” no contexto frequentista, porque \mu é um valor fixo desconhecido (não uma variável aleatória). O que muda é o procedimento: ele tem 95\% de sucesso a longo prazo.
  • Interpretação prática para o problema: com os dados fornecidos, podemos razoavelmente afirmar que a verdadeira concentração média de ácido acético está entre 0{,}5071 e 0{,}5169\\ \mathrm{mol/L} com um nível de confiança de 95\%. Isso é útil para decisões experimentais ou controle de qualidade — por exemplo, sabemos que a média não difere de 0{,}50 de forma clara se esse valor estivesse fora do intervalo, etc.

Passo 5

Cálculo do tamanho de amostra requerido para margem de erro E=0{,}0039 (parte c):
  • Usamos a fórmula
n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}.
  • Substituindo z_{0{,}025}=1{,}96, \sigma=0{,}015 e E=0{,}0039:
n=\left(\frac{1{,}96\cdot 0{,}015}{0{,}0039}\right)^{2}.
  • Calcule passo a passo:
1{,}96\cdot 0{,}015=0{,}0294,
\frac{0{,}0294}{0{,}0039}\approx 7{,}538461538\ldots,
n\approx (7{,}538461538)^{2}\approx 56{,}8265306\ldots
  • Como n deve ser inteiro e precisamos garantir que a margem de erro desejada NÃO seja ultrapassada, arredondamos para cima:
n=57.

Passo 6

Observações finais e incentivo rápido:
  • Resultado razoável: aumentar a precisão (reduzir E) exige aumentar n. Aqui para reduzir E de 0{,}0049 (obtido com n=36) para 0{,}0039 precisamos de n=57, um aumento moderado.
  • Você conseguiu chegar até aqui — foco nas fórmulas chave: IC com \sigma conhecido, erro padrão e fórmula de n. Repete os cálculos à mão mais uma vez para fixar.

Resposta

(a) Intervalo de confiança de 95\%: (0{,}5071,\;0{,}5169)\\ \mathrm{mol/L}
(b) Interpretação: com o procedimento usado, estamos 95\% confiantes de que a verdadeira média \mu está entre 0{,}5071 e 0{,}5169\\ \mathrm{mol/L}; em termos frequencistas, se repetíssemos o processo muitas vezes, cerca de 95\% dos intervalos construídos conteriam \mu.
(c) Tamanho de amostra necessário para E=0{,}0039 e 95\% de confiança: n=57.

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