Um engenheiro de materiais está estudando a resistência à tração (força máxima antes de ruptura) de um tubo de aço inoxidável. Ensaios laboratoriais mostram que essa resistência (em MPa ) segue aproximadamente uma distribuição normal com:
e
) Qual a probabilidade de uma amostra apresentar resistência inferior a 470 MPa ? b) Faça uma interpretação prática do resultado anterior. c) Acima de qual valor da resistência estão os 10% melhores materiais?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e perguntas. Dados:
MPa (média) e
MPa (desvio padrão). Perguntas:
a) Qual a probabilidade de uma amostra apresentar resistência inferior a MPa?
b) Fazer uma interpretação prática do resultado da alínea (a).
c) Acima de qual valor da resistência estão os melhores materiais?
a) Qual a probabilidade de uma amostra apresentar resistência inferior a
b) Fazer uma interpretação prática do resultado da alínea (a).
c) Acima de qual valor da resistência estão os
Passo 2
Vou transformar o problema para uma escala padrão para calcular probabilidades. Primeiro, a fórmula que usamos para padronizar (passar de
com média e desvio padrão conhecidos para a variável padrão) é
onde:
-
é a resistência da amostra (em MPa), -
é a média ( MPa), -
é o desvio padrão ( MPa), -
é a nova variável padronizada que tem distribuição padrão (média e desvio padrão ).
Explicação curta e prática: essa transformação desloca a média para zero e escala as unidades para “número de desvios padrão”, o que nos permite usar a tabela (ou função) da distribuição normal padrão para obter probabilidades. Pense emcomo “quantos desvios padrão está acima/abaixo da média”.
Passo 3
Aplicando a padronização para a letra (a): queremos
. Calculamos o
correspondente a
:
Ou seja,
MPa está
desvios padrão abaixo da média.
Passo 4
Agora convertemos
em probabilidade da normal padrão:
Usando a simetria da normal padrão (ou tabela/função), sabemos que
Na tabela ou calculadora,
(arrendondando
). Portanto
Passo 5
Resultado numérico da alínea (a): a probabilidade pedida é
, ou seja
. Interpretação prática (alínea b): isso significa que, sob as suposições do problema, cerca de
dos tubos terão resistência inferior a
MPa. Em termos concretos, se você testar
tubos espera encontrar aproximadamente
tubos com resistência abaixo de
MPa. Essa é uma maneira de avaliar a frequência esperada de materiais “mais fracos” na produção.
Passo 6
Agora a alínea (c): queremos o valor
tal que os
melhores materiais tenham resistência acima de
. Em termos de probabilidades:
Buscamos o quantil de ordem
da distribuição, isto é o
tal que
. Na tabela inversa/inversa da normal, esse valor é aproximadamente
.
Passo 7
Voltando para a escala original com
e
:
Calculemos:
logo
Arredondando de forma prática,
MPa. Ou seja, os
melhores materiais têm resistência maior que aproximadamente
MPa.
Passo 8
Observações finais rápidas: usamos a aproximação da tabela da normal padrão para
e para
. Pequenas diferenças podem ocorrer dependendo do arredondamento da tabela ou da função usada, mas os valores acima são os usuais e suficientes para uma prova ou cálculo prático. Mantenha sempre a interpretação em termos de percentuais e número esperado em lotes para responder perguntas práticas.
Resposta
a)
(ou
).
b) Aproximadamente dos tubos terão resistência inferior a
MPa; em
tubos espera-se cerca de
com resistência abaixo de
MPa.
c) MPa.
b) Aproximadamente
c)