Um engenheiro de materiais está estudando a resistência à tração (força máxima antes de ruptura) de um tubo de aço inoxidável. Ensaios laboratoriais mostram que essa resistência (em MPa ) segue aproximadamente uma distribuição normal com: \mu=500 \mathrm{MPa} e \sigma=20 \mathrm{MPa} ) Qual a probabilidade de uma amostra apresentar resistência inferior a 470 MPa ? b) Faça uma interpretação prática do resultado anterior. c) Acima de qual valor da resistência estão os 10% melhores materiais? (2,5)

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e perguntas. Dados: \mu=500 MPa (média) e \sigma=20 MPa (desvio padrão). Perguntas:
a) Qual a probabilidade de uma amostra apresentar resistência inferior a \,470 MPa?
b) Fazer uma interpretação prática do resultado da alínea (a).
c) Acima de qual valor da resistência estão os 10\% melhores materiais?

Passo 2

Vou transformar o problema para uma escala padrão para calcular probabilidades. Primeiro, a fórmula que usamos para padronizar (passar de X com média e desvio padrão conhecidos para a variável padrão) é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a resistência da amostra (em MPa),
  • \mu é a média ( \mu=500 MPa),
  • \sigma é o desvio padrão ( \sigma=20 MPa),
  • Z é a nova variável padronizada que tem distribuição padrão (média 0 e desvio padrão 1).
    Explicação curta e prática: essa transformação desloca a média para zero e escala as unidades para “número de desvios padrão”, o que nos permite usar a tabela (ou função) da distribuição normal padrão para obter probabilidades. Pense em Z como “quantos desvios padrão X está acima/abaixo da média”.

Passo 3

Aplicando a padronização para a letra (a): queremos P(X<470). Calculamos o Z correspondente a X=470:
Z=\frac{470-500}{20}=\frac{-30}{20}=-1,5.
Ou seja, 470 MPa está 1{,}5 desvios padrão abaixo da média.

Passo 4

Agora convertemos P(X<470) em probabilidade da normal padrão:
P(X<470)=P\bigl(Z<-1{,}5\bigr).
Usando a simetria da normal padrão (ou tabela/função), sabemos que
P\bigl(Z<-1{,}5\bigr)=\Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5).
Na tabela ou calculadora, \Phi(1{,}5)\approx 0{,}93319 (arrendondando \approx 0{,}9332). Portanto
P\bigl(Z<-1{,}5\bigr)=1-0{,}9332=0{,}0668.

Passo 5

Resultado numérico da alínea (a): a probabilidade pedida é \;0{,}0668, ou seja 6{,}68\%. Interpretação prática (alínea b): isso significa que, sob as suposições do problema, cerca de 6{,}68\% dos tubos terão resistência inferior a 470 MPa. Em termos concretos, se você testar 1000 tubos espera encontrar aproximadamente 1000\times 0{,}0668\approx 67 tubos com resistência abaixo de 470 MPa. Essa é uma maneira de avaliar a frequência esperada de materiais “mais fracos” na produção.

Passo 6

Agora a alínea (c): queremos o valor x tal que os 10\% melhores materiais tenham resistência acima de x. Em termos de probabilidades:
P(X>x)=0{,}10 \quad\Longrightarrow\quad P(X\le x)=0{,}90.
Buscamos o quantil de ordem 0{,}90 da distribuição, isto é o z tal que \Phi(z)=0{,}90. Na tabela inversa/inversa da normal, esse valor é aproximadamente z_{0{,}90}\approx 1{,}2816.

Passo 7

Voltando para a escala original com \mu e \sigma:
x=\mu+z_{0{,}90}\sigma=500+1{,}2816\times 20.
Calculemos:
1{,}2816\times 20=25{,}632,
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x=500+25{,}632=525{,}632\\ \text{MPa}.
Arredondando de forma prática, x\approx 525{,}63 MPa. Ou seja, os 10\% melhores materiais têm resistência maior que aproximadamente 525{,}63 MPa.

Passo 8

Observações finais rápidas: usamos a aproximação da tabela da normal padrão para \Phi(1{,}5) e para z_{0{,}90}. Pequenas diferenças podem ocorrer dependendo do arredondamento da tabela ou da função usada, mas os valores acima são os usuais e suficientes para uma prova ou cálculo prático. Mantenha sempre a interpretação em termos de percentuais e número esperado em lotes para responder perguntas práticas.

Resposta

a) \;0{,}0668 (ou 6{,}68\%).
b) Aproximadamente 6{,}68\% dos tubos terão resistência inferior a 470 MPa; em 1000 tubos espera-se cerca de 67 com resistência abaixo de 470 MPa.
c) \;525{,}63 MPa.

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