A distribuição do nível de satisfação (escala de 0-100 ) com a exportação agrícola de um país tem média \mu=70 e \sigma=10. Considere normal a distribuição. a) Qual a proporção de pessoas com satisfação maior que 85 ? b) Faça uma interpretação (2,0)

Passo 1

O enunciado dá a distribuição do nível de satisfação (escala de 0–100) com média \mu=70 e desvio-padrão \sigma=10. Assume-se que a distribuição é normal. As perguntas são:
(a) Qual a proporção de pessoas com satisfação maior que 85?
(b) Fazer uma interpretação dessa resposta (valor em linguagem comum).
Informações relevantes dadas:
  • \mu=70.
  • \sigma=10.
  • Distribuição é normal (portanto podemos usar a distribuição normal padrão para calcular probabilidades).
  • Queremos P(X>85), onde X é a satisfação.

Passo 2

Entendendo a ideia principal (passo-a-passo didático).
Quando uma variável X é normalmente distribuída com média \mu e desvio-padrão \sigma, a forma prática de calcular probabilidades é transformar X numa variável normal padrão Z que tem média 0 e desvio-padrão 1. A transformação (chamada de padronização) é:
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}
Aqui:
  • X é a variável original (satisfação que varia 0–100).
  • \mu é a média dada ( 70).
  • \sigma é o desvio-padrão ( 10).
  • Z é o número de desvios-padrão que X está acima (ou abaixo, se for negativo) da média. Interpretar Z é crucial: por exemplo, Z=1 significa “1 desvio-padrão acima da média”.

Passo 3

Aplicando a padronização ao ponto X=85. Calculamos:
Z=\frac{85-70}{10}=\frac{15}{10}=1,5.
Interpretação deste resultado: 85 está 1,5 desvios-padrão acima da média. Ou seja, é um valor relativamente alto, mas não extremamente raro.

Passo 4

Converter a probabilidade pedida em termos da normal padrão. Queremos:
P(X>85)=P\!\left(Z>1,5\right).
Chamando de \Phi(z) a função de distribuição acumulada da normal padrão (ou seja, \Phi(z)=P(Z\le z)), temos:
P(Z>1,5)=1-\Phi(1,5).
Explicação didática: \Phi(1,5) dá a probabilidade de Z ser menor ou igual a 1,5; portanto a probabilidade de ser maior é o complemento até 1.

Passo 5

Obter o valor numérico de \Phi(1,5). Este valor é encontrado em tabelas da normal padrão ou por calculadora estatística. O valor padrão conhecido é:
\Phi(1,5)\approx 0,9332.
Portanto:
P(Z>1,5)=1-0,9332=0,0668.
Em termos percentuais:
0,0668 \times 100\% = 6,68\%.
Método prático para prova sem calculadora: decorando alguns valores típicos da tabela (por exemplo \Phi(1,0)\approx 0,8413, \Phi(1,5)\approx 0,9332, \Phi(2,0)\approx 0,9772) você consegue estimar rapidamente áreas tail.

Passo 6

Interpretação didática (como explicar isso na prova ou para alguém que não faz estatística): a resposta 0,0668 significa que, numa população com essa distribuição de satisfação, aproximadamente 6,68\% das pessoas têm nível de satisfação maior que 85. Em linguagem mais cotidiana: em cada 100 pessoas, cerca de 7 têm satisfação acima de 85; em 1\,000 pessoas, cerca de 67 pessoas. Isso mostra que valores tão altos quanto 85 são relativamente raros, pois estão 1,5 desvios-padrão acima da média.

Resposta

(a) 0,0668 (aprox. 6,68\%)
(b) Aproximadamente 6,68\% da população têm satisfação maior que 85; ou seja, cerca de 7 em cada 100 pessoas.

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