A distribuição do nível de satisfação (escala de
) com a exportação agrícola de um país tem média
e
. Considere normal a distribuição. a) Qual a proporção de pessoas com satisfação maior que 85 ? b) Faça uma interpretação
Passo 1
O enunciado dá a distribuição do nível de satisfação (escala de 0–100) com média
e desvio-padrão
. Assume-se que a distribuição é normal. As perguntas são:
(a) Qual a proporção de pessoas com satisfação maior que ?
(b) Fazer uma interpretação dessa resposta (valor em linguagem comum).
(a) Qual a proporção de pessoas com satisfação maior que
(b) Fazer uma interpretação dessa resposta (valor em linguagem comum).
Informações relevantes dadas:
-
. -
. - Distribuição é normal (portanto podemos usar a distribuição normal padrão para calcular probabilidades).
- Queremos
, onde é a satisfação.
Passo 2
Entendendo a ideia principal (passo-a-passo didático).
Quando uma variável é normalmente distribuída com média
e desvio-padrão
, a forma prática de calcular probabilidades é transformar
numa variável normal padrão
que tem média
e desvio-padrão
. A transformação (chamada de padronização) é:
Quando uma variável
Aqui:
-
é a variável original (satisfação que varia 0–100). -
é a média dada ( ). -
é o desvio-padrão ( ). -
é o número de desvios-padrão que está acima (ou abaixo, se for negativo) da média. Interpretar é crucial: por exemplo, significa “1 desvio-padrão acima da média”.
Passo 3
Aplicando a padronização ao ponto
. Calculamos:
Interpretação deste resultado:
está
desvios-padrão acima da média. Ou seja, é um valor relativamente alto, mas não extremamente raro.
Passo 4
Converter a probabilidade pedida em termos da normal padrão. Queremos:
Chamando de
a função de distribuição acumulada da normal padrão (ou seja,
), temos:
Explicação didática:
dá a probabilidade de
ser menor ou igual a
; portanto a probabilidade de ser maior é o complemento até
.
Passo 5
Obter o valor numérico de
. Este valor é encontrado em tabelas da normal padrão ou por calculadora estatística. O valor padrão conhecido é:
Portanto:
Em termos percentuais:
Método prático para prova sem calculadora: decorando alguns valores típicos da tabela (por exemplo
,
,
) você consegue estimar rapidamente áreas tail.
Passo 6
Interpretação didática (como explicar isso na prova ou para alguém que não faz estatística): a resposta
significa que, numa população com essa distribuição de satisfação, aproximadamente
das pessoas têm nível de satisfação maior que
. Em linguagem mais cotidiana: em cada
pessoas, cerca de
têm satisfação acima de
; em
pessoas, cerca de
pessoas. Isso mostra que valores tão altos quanto
são relativamente raros, pois estão
desvios-padrão acima da média.
Resposta
(a)
(aprox.
)
(b) Aproximadamente da população têm satisfação maior que
; ou seja, cerca de
em cada
pessoas.
(b) Aproximadamente