• Exercício 1. Associação de tubulações em série. { }^{(1)}
Uma tubulação de aço para condução de água é constituída por três trechos em série:
  • Trecho 1: \mathrm{D}_{1}=250 \mathrm{~mm}, \mathrm{~L}_{1}=1000 \mathrm{~m}
  • Trecho 2: \mathrm{D}_{2}=200 \mathrm{~mm}, \mathrm{~L}_{2}=1800 \mathrm{~m}
  • Trecho 3: \mathrm{D}_{3}=150 \mathrm{~mm}, \mathrm{~L}_{3}=2500 \mathrm{~m}
A vazão é de 180 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. Considere o fator de atrito igual a 0,014 para todos trechos. Calcule a perda de carga da tubulação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • Trecho 1: D_{1}=250\\ \mathrm{mm}, L_{1}=1000\\ \mathrm{m}.
    • Trecho 2: D_{2}=200\\ \mathrm{mm}, L_{2}=1800\\ \mathrm{m}.
    • Trecho 3: D_{3}=150\\ \mathrm{mm}, L_{3}=2500\\ \mathrm{m}.
    • Vazão: Q=180\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
    • Fator de atrito (mesmo em todos os trechos): f=0,014.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a perda de carga total da tubulação (soma das perdas de cada trecho em série).

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê — breve mini-aula.
  • Para perda de carga por atrito em um trecho reto de tubulação usamos a equação de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga (m),
  • f é o fator de atrito (adimensional),
  • L é o comprimento do trecho (m),
  • D é o diâmetro interno da tubulação (m),
  • V é a velocidade média do fluido no trecho (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx9,81\\ \mathrm{m/s}^2).
  • Se os trechos estão em série, a perda de carga total é a soma das perdas de cada trecho:
h_{total}=\sum_{i=1}^{3} h_{f,i}.
  • Para encontrar V em cada trecho usamos a relação entre vazão e área:
V=\frac{Q}{A},\qquad A=\frac{\pi D^2}{4}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Conversões de unidades (muito importante — sempre faça isso na prova).
  • Converto Q para \mathrm{m}^3/\mathrm{s}:
Q=180\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}=\frac{180}{3600}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}=0,05\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Converto os diâmetros para metros:
D_{1}=250\\ \mathrm{mm}=0,25\\ \mathrm{m},\quad D_{2}=200\\ \mathrm{mm}=0,20\\ \mathrm{m},\quad D_{3}=150\\ \mathrm{mm}=0,15\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular as áreas da seção transversal de cada trecho.
  • Fórmula da área: \displaystyle A=\frac{\pi D^2}{4}.
Cálculos:
A_{1}=\frac{\pi (0,25)^2}{4}=\pi\cdot0,015625\approx0,049087\\ \mathrm{m}^2,
A_{2}=\frac{\pi (0,20)^2}{4}=\pi\cdot0,01\approx0,031416\\ \mathrm{m}^2,
A_{3}=\frac{\pi (0,15)^2}{4}=\pi\cdot0,005625\approx0,017671\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Calcular as velocidades médias V_i em cada trecho com V=Q/A.
V_{1}=\frac{0,05}{0,049087}\approx1,0186\\ \mathrm{m/s},
V_{2}=\frac{0,05}{0,031416}\approx1,5915\\ \mathrm{m/s},
V_{3}=\frac{0,05}{0,017671}\approx2,8284\\ \mathrm{m/s}.
Observação rápida: V_3 é maior porque o diâmetro é menor — mesma vazão passando por área menor dá velocidade maior.

Passo 6

Calcular V^2/(2g) para cada trecho (essa parte é a “energia cinética por unidade de peso”):
\frac{V_{1}^2}{2g}=\frac{(1,0186)^2}{2\cdot9,81}\approx0,052900\\ \mathrm{m},
\frac{V_{2}^2}{2g}=\frac{(1,5915)^2}{2\cdot9,81}\approx0,129168\\ \mathrm{m},
\frac{V_{3}^2}{2g}=\frac{(2,8284)^2}{2\cdot9,81}=\frac{8}{19,62}\approx0,407743\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Agora aplico Darcy–Weisbach em cada trecho:
h_{f,i}=f\frac{L_i}{D_i}\frac{V_i^2}{2g}.
  • Trecho 1:
\frac{L_1}{D_1}=\frac{1000}{0,25}=4000,
h_{f,1}=0,014\cdot4000\cdot0,052900\approx2,962\\ \mathrm{m}.
  • Trecho 2:
\frac{L_2}{D_2}=\frac{1800}{0,20}=9000,
h_{f,2}=0,014\cdot9000\cdot0,129168\approx16,274\\ \mathrm{m}.
  • Trecho 3:
\frac{L_3}{D_3}=\frac{2500}{0,15}\approx16666{,}6667,
h_{f,3}=0,014\cdot16666{,}6667\cdot0,407743\approx95,142\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Somar as perdas de carga de cada trecho para obter a perda total:
h_{total}=h_{f,1}+h_{f,2}+h_{f,3}\approx2,962+16,274+95,142\approx114,378\\ \mathrm{m}.
Arredondando para duas casas decimais (valor prático de engenharia):
h_{total}\approx114,38\\ \mathrm{m}.
Força aí — dá pra ver que o maior contributo vem do trecho de menor diâmetro (trecho 3): diâmetro pequeno -> velocidade alta -> perda muito maior.

Resposta

h_{total}\approx114,38\\ \mathrm{m}

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