Questão 02
Após a injeção translunar, uma espaçonave afasta-se da Terra e, nas primeiras horas de viagem, sua rapidez varia devido à atração gravitacional terrestre. Para modelar, de forma simplificada, apenas as duas primeiras horas após essa manobra, admita que a distância escalar
percorrida pela nave ao longo da trajetória seja dada por
em que
está em km e
em horas.
No instante
, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea da nave são, respectivamente:
A)
e
B)
C)
e
D)
e
E)
e
Marque sua resposta: □
No instante
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá a função posição ao longo do tempo, para
:
com
em km e
em horas.
Pede-se, no instante h, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea da nave (ou seja,
e
, com suas unidades).
Pede-se, no instante
Passo 2
Conceito e regra que vamos usar (explicadinho): a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. A aceleração instantânea é a derivada da velocidade (ou a segunda derivada da posição).
Regra de derivação usada (regra do “potência”): para uma função do tipo (onde
é constante e
é um número inteiro), vale
Regra de derivação usada (regra do “potência”): para uma função do tipo
Isto significa que a gente traz o expoente para multiplicar o coeficiente e reduz o expoente em 1. Para termos lineares (
) a derivada é só o coeficiente; para constantes (
) a derivada é zero. Também mantenha as unidades: se
está em km e
em h, então
terá unidades km/h e
terá km/h^{2}.
Passo 3
Aplicando a regra termo a termo para obter a velocidade
.
Derivando cada termo:
- Derivada de
é (pois ). - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Simplificando os coeficientes numéricos:
Passo 4
Agora avaliamo em
. Calculemos termo a termo (mostrando as contas):
Compute:
Então
Em valores numéricos:
Portanto
Em notação científica isso é
Passo 5
Agora a aceleração
: derivamos
.
De temos
De
Simplificando o coeficiente:
Passo 6
Avaliar em
:
Calcule:
Logo
Em notação científica:
Observação interpretativa rápida: o sinal negativo indica que, naquele instante, a velocidade está diminuindo (aceleração contrária ao sentido da velocidade).
Resposta
A