Questão 02

Após a injeção translunar, uma espaçonave afasta-se da Terra e, nas primeiras horas de viagem, sua rapidez varia devido à atração gravitacional terrestre. Para modelar, de forma simplificada, apenas as duas primeiras horas após essa manobra, admita que a distância escalar s percorrida pela nave ao longo da trajetória seja dada por
s(t)=3,72 \times 10^{4} t-1,50 \times 10^{3} t^{2}+4,50 \times 10^{1} t^{3}, \quad 0 \leq t \leq 2,
em que s está em km e t em horas.
No instante t=2 \mathrm{~h}, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea da nave são, respectivamente:
A) 3,174 \times 10^{4} \mathrm{~km} / \mathrm{h} e -2,46 \times 10^{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h}^{2}
B) 3,720 \times 10^{4} \mathrm{~km} / \mathrm{h} \mathrm{e}-3,00 \times 10^{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h}^{2}
C) 3,174 \times 10^{4} \mathrm{~km} / \mathrm{h} e +2,46 \times 10^{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h}^{2}
D) 6,348 \times 10^{4} \mathrm{~km} / \mathrm{h} e -2,46 \times 10^{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h}^{2}
E) 2,460 \times 10^{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h} e 3,174 \times 10^{4} \mathrm{~km} / \mathrm{h}^{2}
Marque sua resposta: □

Passo 1

O enunciado dá a função posição ao longo do tempo, para 0 \le t \le 2:
s(t)=3,72\times10^{4}\,t-1,50\times10^{3}\,t^{2}+4,50\times10^{1}\,t^{3},
com s em km e t em horas.
Pede-se, no instante t=2 h, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea da nave (ou seja, s'(2) e s''(2), com suas unidades).

Passo 2

Conceito e regra que vamos usar (explicadinho): a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. A aceleração instantânea é a derivada da velocidade (ou a segunda derivada da posição).
Regra de derivação usada (regra do “potência”): para uma função do tipo a\,t^{n} (onde a é constante e n é um número inteiro), vale
\frac{d}{dt}\bigl(a\,t^{n}\bigr)=a\cdot n\,t^{n-1}.
Isto significa que a gente traz o expoente para multiplicar o coeficiente e reduz o expoente em 1. Para termos lineares ( n=1) a derivada é só o coeficiente; para constantes ( n=0) a derivada é zero. Também mantenha as unidades: se s está em km e t em h, então s' terá unidades km/h e s'' terá km/h^{2}.

Passo 3

Aplicando a regra termo a termo para obter a velocidade v(t)=s'(t).
Derivando cada termo:
  • Derivada de 3,72\times10^{4}\,t é 3,72\times10^{4} (pois n=1).
  • Derivada de -1,50\times10^{3}\,t^{2} é -2\cdot1,50\times10^{3}\,t.
  • Derivada de 4,50\times10^{1}\,t^{3} é 3\cdot4,50\times10^{1}\,t^{2}.
Portanto
s'(t)=3,72\times10^{4}-2\cdot1,50\times10^{3}\,t+3\cdot4,50\times10^{1}\,t^{2}.
Simplificando os coeficientes numéricos:
s'(t)=3,72\times10^{4}-3,00\times10^{3}\,t+1,35\times10^{2}\,t^{2}.

Passo 4

Agora avaliamo em t=2. Calculemos termo a termo (mostrando as contas):
s'(2)=3,72\times10^{4}-3,00\times10^{3}\cdot2+1,35\times10^{2}\cdot2^{2}.
Compute:
3,00\times10^{3}\cdot2=6,00\times10^{3}, \qquad 1,35\times10^{2}\cdot2^{2}=1,35\times10^{2}\cdot4=5,40\times10^{2}.
Então
s'(2)=3,72\times10^{4}-6,00\times10^{3}+5,40\times10^{2}.
Em valores numéricos:
3,72\times10^{4}=37200,\quad 6,00\times10^{3}=6000,\quad 5,40\times10^{2}=540.
Portanto
s'(2)=37200-6000+540=31740.
Em notação científica isso é
s'(2)=3,174\times10^{4}\\ \text{km/h}.

Passo 5

Agora a aceleração a(t)=s''(t): derivamos s'(t).
De s'(t)=3,72\times10^{4}-3,00\times10^{3}\,t+1,35\times10^{2}\,t^{2} temos
s''(t)=-3,00\times10^{3}+2\cdot1,35\times10^{2}\,t.
Simplificando o coeficiente:
s''(t)=-3,00\times10^{3}+2,70\times10^{2}\,t.

Passo 6

Avaliar em t=2:
s''(2)=-3,00\times10^{3}+2,70\times10^{2}\cdot2.
Calcule:
2,70\times10^{2}\cdot2=5,40\times10^{2}=540.
Logo
s''(2)=-3000+540=-2460.
Em notação científica:
s''(2)=-2,46\times10^{3}\\ \text{km/h}^{2}.
Observação interpretativa rápida: o sinal negativo indica que, naquele instante, a velocidade está diminuindo (aceleração contrária ao sentido da velocidade).

Resposta

A

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