Considere b >= a>0. Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos o disco cuja equação é x^2+(y-b)^2=a^2 em torno:
(1) do eixo x.
(2) do eixo y.

Passo 1

Vamos pegar o enunciado: temos o disco definido por x^2 + (y - b)^2 <= a^2, com b>= a>0, e queremos o volume dos sólidos de revolução em torno dos eixos x e y. O conteúdo envolvido é cálculo de volume por método dos discos (ou cascas) e, no caso do eixo x, reconhecemos um toro (teorema de Pappus).

Passo 2

Para o eixo x, vamos usar o método dos discos (lavadores): cada seção perpendicular ao eixo x forma um anel de raio externo y+=b+raiza^2-x^2 e interno y-=b-raiza^2-x^2. O volume é
Vx=piintegral-a^al(y+^2 - y-^2r),dx

Passo 3

Calculamos a diferença de quadrados:
$$y_+^2 - y_-^2 = (b+u)^2 - (b-u)^2 =4b,u,\quad u=\sqrt{a2-x2}.
$$

Passo 4

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$$V_x=\pi\int_{-a}{a}4b\sqrt{a2-x^2},dx =4b\pi\cdot\biggl(\frac{\pi a2}{2}\biggr)=2\pi2 b a^2.
$$

Passo 5

Para o eixo y, fazemos seções transversais por planos horizontais: em cada y entre b-a e b+a a seção é um disco de raio x=raiza^2-(y-b)^2. Assim
$$V_y=\pi\int_{b-a}{b+a}\bigl(a2-(y-b)^2\bigr),dy.
$$

Passo 6

Fazendo a mudança t=y-b de -a a a temos
$$V_y=\pi\int_{-a}{a}(a2-t^2),dt =\pi\cdot\frac{4a^3}{3}=\frac{4}{3}\pi a^3,
$$que é justamente o volume de uma esfera de raio Vy=piintegral-a^a(a^2-t^2),dt =picdot4a^33=43pi a^3, , pois o disco está centrado sobre o eixo a.

Resposta

Rotação em torno do eixo x: Vx=2pi^2 b a^2. Rotação em torno do eixo y: Vy=tfrac43pi a^3.

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