Considere
. Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos o disco cuja equação é
em torno:
(1) do eixo
.
(2) do eixo
.
(1) do eixo
(2) do eixo
Passo 1
Vamos pegar o enunciado: temos o disco definido por
, com
, e queremos o volume dos sólidos de revolução em torno dos eixos
e
. O conteúdo envolvido é cálculo de volume por método dos discos (ou cascas) e, no caso do eixo
, reconhecemos um toro (teorema de Pappus).
Passo 2
Para o eixo
, vamos usar o método dos discos (lavadores): cada seção perpendicular ao eixo
forma um anel de raio externo
e interno
. O volume é
Passo 3
Calculamos a diferença de quadrados:
$$y_+^2 - y_-^2 = (b+u)^2 - (b-u)^2 =4b,u,\quad u=\sqrt{a2-x2}.
$$
Passo 4
Logo
$$V_x=\pi\int_{-a}{a}4b\sqrt{a2-x^2},dx =4b\pi\cdot\biggl(\frac{\pi a2}{2}\biggr)=2\pi2 b a^2.
$$
Passo 5
Para o eixo
, fazemos seções transversais por planos horizontais: em cada
entre
e
a seção é um disco de raio
. Assim
$$V_y=\pi\int_{b-a}{b+a}\bigl(a2-(y-b)^2\bigr),dy.
$$
Passo 6
Fazendo a mudança
de
a
temos
$$V_y=\pi\int_{-a}{a}(a2-t^2),dt =\pi\cdot\frac{4a^3}{3}=\frac{4}{3}\pi a^3,
$$que é justamente o volume de uma esfera de raio
, pois o disco está centrado sobre o eixo
.
Resposta
Rotação em torno do eixo x:
. Rotação em torno do eixo y:
.