Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que:
(a) lim (x, y) (0,0) 2 x^2 y^2x^2+2 y^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite da função 2x^2y^2x^2+2y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0) é zero. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze). Esse teorema nos ajuda a encontrar limites ao “apertar” a função entre duas outras funções que têm o mesmo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos dizer com o limite da função quando (x, y) (0,0). Significa que queremos ver o que acontece com a função à medida que os valores de x e y ficam muito próximos de zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema do Confronto. Para isso, precisamos encontrar duas funções que “confinem” a nossa função principal e que tenham o mesmo limite quando (x, y) (0,0).

Passo 4

Observando a função 2x^2y^2x^2+2y^2, notamos que tanto o numerador quanto o denominador são positivos ou zero, já que são quadrados. Portanto, podemos dizer que:
0 <= 2x^2y^2x^2+2y^2

Passo 5

Agora, precisamos encontrar um limite superior para a função. Vamos analisar o numerador 2x^2y^2 e o denominador x^2+2y^2. Podemos perceber que:
x^2 + 2y^2 >= x^2
Isso porque 2y^2 é sempre não negativo. Então, podemos escrever:
2x^2y^2x^2+2y^2 <= 2x^2y^2x^2 = 2y^2

Passo 6

Agora, temos a desigualdade:
0 <= 2x^2y^2x^2+2y^2 <= 2y^2
Sabemos que quando (x, y) (0,0), y^2 0. Portanto, 2y^2 0 também.

Passo 7

Aplicando o Teorema do Confronto, já que a nossa função está “amarrada” entre 0 e 2y^2, e ambos os extremos tendem a 0, podemos concluir que:
lim (x, y) (0,0) 2x^2y^2x^2+2y^2 = 0

Resposta

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