Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite da função
quando
se aproxima de
é zero. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze). Esse teorema nos ajuda a encontrar limites ao “apertar” a função entre duas outras funções que têm o mesmo limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos dizer com o limite da função quando
. Significa que queremos ver o que acontece com a função à medida que os valores de
e
ficam muito próximos de zero.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema do Confronto. Para isso, precisamos encontrar duas funções que “confinem” a nossa função principal e que tenham o mesmo limite quando
.
Passo 4
Observando a função
, notamos que tanto o numerador quanto o denominador são positivos ou zero, já que são quadrados. Portanto, podemos dizer que:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar um limite superior para a função. Vamos analisar o numerador
e o denominador
. Podemos perceber que:
Isso porque
é sempre não negativo. Então, podemos escrever:
Passo 6
Agora, temos a desigualdade:
Sabemos que quando
,
. Portanto,
também.
Passo 7
Aplicando o Teorema do Confronto, já que a nossa função está “amarrada” entre
e
, e ambos os extremos tendem a
, podemos concluir que:
Resposta
0