Mostre que lim (x, y) (0,1) 2 x^2(y-1)^2x^2+2(y-1)^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o limite de uma função com duas variáveis, lim (x, y) (0,1) 2 x^2(y-1)^2x^2+2(y-1)^2, é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e algumas técnicas para simplificar a expressão e mostrar que ela realmente tende a zero quando (x, y) se aproxima de (0, 1).

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável pra facilitar. Vamos chamar h = x e k = y - 1. Assim, quando (x, y) se aproxima de (0,1), isso significa que (h,k) está se aproximando de (0,0). Substituindo na função original, temos:
2 h^2k^2h^2 + 2k^2
Agora, queremos calcular o limite quando (h,k) (0,0).

Passo 3

Para analisar esse limite, vamos observar os termos no numerador e no denominador. No numerador, temos 2 h^2k^2, que é um produto de termos que vão a zero mais rápido devido aos quadrados. No denominador, temos h^2 + 2k^2.
Para mostrar que o limite é zero, podemos comparar a expressão com algo que sabemos que tende a zero. Vamos dividir o numerador pelo denominador:
2 h^2k^2h^2 + 2k^2 <= 2 h^2k^2h^2 = 2k^2
Aqui, usamos o fato de que h^2 + 2k^2 >= h^2, então o denominador é pelo menos h^2.

Passo 4

Agora, sabemos que 2k^2 tende a zero quando k 0. Como a expressão original é menor ou igual a algo que tende a zero, pelo Teorema do Aperfeiçoamento, podemos concluir que:
lim (h, k) (0,0) 2 h^2k^2h^2 + 2k^2 = 0

Resposta

Portanto, mostramos que lim (x, y) (0,1) 2 x^2(y-1)^2x^2+2(y-1)^2=0.

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