Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o limite de uma função com duas variáveis,
, é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e algumas técnicas para simplificar a expressão e mostrar que ela realmente tende a zero quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável pra facilitar. Vamos chamar
e
. Assim, quando
se aproxima de
, isso significa que
está se aproximando de
. Substituindo na função original, temos:
Agora, queremos calcular o limite quando
.
Passo 3
Para analisar esse limite, vamos observar os termos no numerador e no denominador. No numerador, temos
, que é um produto de termos que vão a zero mais rápido devido aos quadrados. No denominador, temos
.
Para mostrar que o limite é zero, podemos comparar a expressão com algo que sabemos que tende a zero. Vamos dividir o numerador pelo denominador:
Aqui, usamos o fato de que
, então o denominador é pelo menos
.
Passo 4
Agora, sabemos que
tende a zero quando
. Como a expressão original é menor ou igual a algo que tende a zero, pelo Teorema do Aperfeiçoamento, podemos concluir que:
Resposta
Portanto, mostramos que
.