Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
usando série de Taylor. Vamos usar as expansões de
e
em torno de 0 até a ordem necessária.
Passo 2
Expandimos
em torno de 0. Sabemos pela fórmula de Taylor que
Passo 3
Expandimos
em torno de 0. Pela série de Taylor temos
Passo 4
Calculamos o denominador multiplicando por
:
Passo 5
Montamos a razão substituindo as expansões:
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Passo 6
Usamos a expansão de quociente para obter
Logo, quando
, o valor tende a 1.
Resposta
1