Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
lim x 0 arcsin (x)x cos (x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto0 tfracarcsin(x)xcos(x) usando série de Taylor. Vamos usar as expansões de arcsin(x) e cos(x) em torno de 0 até a ordem necessária.

Passo 2

Expandimos arcsin(x) em torno de 0. Sabemos pela fórmula de Taylor que
arcsin(x)=x+x^36+O(x^5)

Passo 3

Expandimos cos(x) em torno de 0. Pela série de Taylor temos
cos(x)=1-x^22+O(x^4)

Passo 4

Calculamos o denominador multiplicando por x:
xcos(x)=xl(1-x^22+O(x^4)r)=x-x^32+O(x^5)

Passo 5

Montamos a razão substituindo as expansões:
arcsin(x)xcos(x)=x+x^36+O(x^5)x-x^32+O(x^5)
Dividindo numerador e denominador por x obtemos
1+x^26+O(x^4)1-x^22+O(x^4)

Passo 6

Usamos a expansão de quociente para obter
1+tfracx^261-tfracx^22=1+l(tfrac16+tfrac12r)x^2+O(x^4)=1+tfrac23x^2+O(x^4)
Logo, quando xto0, o valor tende a 1.

Resposta

1

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