Considere a>0. Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a região limitada no plano R subset R^2, a qual é delimitada pelas curvas y=0 e y=a x-x^2, em torno:
(1) do eixo x.
(2) do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido que surge quando a região limitada pelas curvas $ y = 0 $ e $ y = a x - x^{2} $ é rotacionada em torno dos eixos $ x $ e $ y $. A matéria envolvida aqui é o cálculo de volumes de sólidos de revolução, e vamos precisar usar métodos como o de discos e cascas cilíndricas para resolver as duas partes do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos rotacionar a região em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em dividir o sólido em discos finos perpendiculares ao eixo de rotação e somar os volumes desses discos.

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. As curvas que delimitam a região são $ y = 0 $ e $ y = a x - x^{2} $. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
y = 0
Então, os limites de integração são de $ x = 0 $ a $ x = a $.

Passo 4

Agora, aplicando o método dos discos, o volume $ V_{x} $ é dado por:
Vx
Onde $ f(x) = a x - x^{2} $.

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Vx = pi integral0^a (a x - x^2)^2 , dx
Expansão do quadrado:
(a x - x^2)^2 = a^2x^2 - 2 a x^3 + x^4
Então:
Vx = pi integral0^a (a^2x^2 - 2 a x^3 + x^4) , dx
Integrando termo a termo:
Vx = pi [ a^23x^3 - 2 a4x^4 + 15x^5 ]0^a
Simplificando:
Vx = pi ( a^23a^3 - a2a^4 + 15a^5 ) = pi ( a^53 - a^52 + a^55 )
Calculando os coeficientes:
Vx = pi a^5 ( 13 - 12 + 15 ) = pi a^5 ( 10 - 15 + 630 ) = pi a^5 ( 130 )
Então:
Vx = pi a^530

Passo 6

Agora, vamos rotacionar a região em torno do eixo $ y $. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método consiste em dividir o sólido em cascas cilíndricas finas paralelas ao eixo de rotação e somar os volumes dessas cascas.

Passo 7

No método das cascas, a fórmula para o volume $ V_{y} $ é:
Vy
Onde $ f(x) = a x - x^{2} $.

Passo 8

Vamos substituir $ f(x) $ na integral:
f(x)
Integrando termo a termo:
Vy = 2pi integral0^a x (a x - x^2) , dx = 2pi integral0^a (a x^2 - x^3) , dx
Substituindo os limites:
Vy = 2pi [ a3x^3 - 14x^4 ]0^a
Calculando os coeficientes:
Vy = 2pi ( a3a^3 - 14a^4 ) = 2pi ( a^43 - a^44 )

Resposta

  1. O volume quando rotacionado ao redor do eixo $ x $ é $ V_{x} = \dfrac{\pi a^{5}}{30} $.
  2. O volume quando rotacionado ao redor do eixo $ y $ é $ V_{y} = \dfrac{\pi a^{4}}{6} $.

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