Considere
. Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a região limitada no plano
, a qual é delimitada pelas curvas
e
, em torno:
(1) do eixo
.
(2) do eixo
.
(1) do eixo
(2) do eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido que surge quando a região limitada pelas curvas $ y = 0 $ e $ y = a x - x^{2} $ é rotacionada em torno dos eixos $ x $ e $ y $. A matéria envolvida aqui é o cálculo de volumes de sólidos de revolução, e vamos precisar usar métodos como o de discos e cascas cilíndricas para resolver as duas partes do problema.
Passo 2
Primeiro, vamos rotacionar a região em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em dividir o sólido em discos finos perpendiculares ao eixo de rotação e somar os volumes desses discos.
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração. As curvas que delimitam a região são $ y = 0 $ e $ y = a x - x^{2} $. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Então, os limites de integração são de $ x = 0 $ a $ x = a $.
Passo 4
Agora, aplicando o método dos discos, o volume $ V_{x} $ é dado por:
Onde $ f(x) = a x - x^{2} $.
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Expansão do quadrado:
Então:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Calculando os coeficientes:
Então:
Passo 6
Agora, vamos rotacionar a região em torno do eixo $ y $. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método consiste em dividir o sólido em cascas cilíndricas finas paralelas ao eixo de rotação e somar os volumes dessas cascas.
Passo 7
No método das cascas, a fórmula para o volume $ V_{y} $ é:
Onde $ f(x) = a x - x^{2} $.
Passo 8
Vamos substituir $ f(x) $ na integral:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Calculando os coeficientes:
Resposta
- O volume quando rotacionado ao redor do eixo $ x $ é $ V_{x} = \dfrac{\pi a^{5}}{30} $.
- O volume quando rotacionado ao redor do eixo $ y $ é $ V_{y} = \dfrac{\pi a^{4}}{6} $.