Determine todos os pontos nos quais a função g é contínua, em que g é a função real de três variáveis reais dada por
g(x, y, z)=x^2+y^2-z
Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar onde a função de três variáveis g(x,y,z)=x{2}+y{2}-z é contínua. O conteúdo envolvido é continuidade de funções multivariadas, e a gente vai precisar usar que polinômios e combinações de funções contínuas são contínuos.

Passo 2

A estratégia é decompor g em funções mais simples cujas continuidades a gente já conhece. Note que podemos escrever g como g(x,y,z)=f_{1}(x)+f_{2}(y)+f_{3}(z), onde f_{1}(x)=x^{2}, f_{2}(y)=y^{2} e f_{3}(z)=-z.

Passo 3

Sabemos da teoria que a função ,(h(u)=u^{2}) é contínua em todo u,e que a função identidade ,(i(z)=z) é contínua em todo z. Aí, f_{1}(x)=x^{2} e f_{2}(y)=y^{2} são contínuas para todo x,y,e f_{3}(z)=-z é composição de uma função contínua (identidade) com uma operação linear, logo também contínua para todo z.

Passo 4

Como soma de funções contínuas resulta em função contínua, concluímos que g(x,y,z)=f_{1}(x)+f_{2}(y)+f_{3}(z) é contínua em todo ponto do domínio R^3.

Resposta

A função g é contínua em todo ponto (x,y,z)inR^3.

Exercícios relacionados