Determine todos os pontos nos quais a função
é contínua, em que
é a função real de três variáveis reais dada por
Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar onde a função de três variáveis g(x,y,z)=x{2}+y{2}-z é contínua. O conteúdo envolvido é continuidade de funções multivariadas, e a gente vai precisar usar que polinômios e combinações de funções contínuas são contínuos.
Passo 2
A estratégia é decompor g em funções mais simples cujas continuidades a gente já conhece. Note que podemos escrever g como g(x,y,z)=f_{1}(x)+f_{2}(y)+f_{3}(z), onde f_{1}(x)=x^{2}, f_{2}(y)=y^{2} e f_{3}(z)=-z.
Passo 3
Sabemos da teoria que a função ,(h(u)=u^{2}) é contínua em todo u,e que a função identidade ,(i(z)=z) é contínua em todo z. Aí, f_{1}(x)=x^{2} e f_{2}(y)=y^{2} são contínuas para todo x,y,e f_{3}(z)=-z é composição de uma função contínua (identidade) com uma operação linear, logo também contínua para todo z.
Passo 4
Como soma de funções contínuas resulta em função contínua, concluímos que g(x,y,z)=f_{1}(x)+f_{2}(y)+f_{3}(z) é contínua em todo ponto do domínio
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Resposta
A função g é contínua em todo ponto
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