Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(h) lim (x, y) (0,0) x^2-y^22 x^2+2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o limite da função x^2-y^22 x^2+2 y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso está dentro da matéria de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Em funções de duas variáveis, o limite lim(x, y) to (a,b) f(x,y) existe se, ao nos aproximarmos de (a,b) por qualquer caminho, o valor de f(x,y) tende para o mesmo número. Se encontrarmos diferentes valores dependendo do caminho escolhido, o limite não existe.

Passo 3

Vamos testar a função ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos. Começaremos pelo caminho onde y = 0.
Quando y = 0:
f(x,0) = x^2 - 0^22 x^2 + 2 cdot 0^2 = x^22 x^2 = 12
Então, ao nos aproximarmos de (0,0) pelo eixo x, o limite é 12.

Passo 4

Agora, vamos considerar o caminho onde x = 0.
Quando x = 0:
f(0,y) = 0^2 - y^22 cdot 0^2 + 2 y^2 = -y^22 y^2 = -12
Assim, ao nos aproximarmos de (0,0) pelo eixo y, o limite é -12.

Passo 5

Observamos que ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos, obtivemos valores diferentes: 12 por um caminho e -12 por outro. Isso indica que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

Portanto, o limite lim (x, y) (0,0) x^2-y^22 x^2+2 y^2 não existe.

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