Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(h)
.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro da matéria de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Em funções de duas variáveis, o limite
existe se, ao nos aproximarmos de
por qualquer caminho, o valor de
tende para o mesmo número. Se encontrarmos diferentes valores dependendo do caminho escolhido, o limite não existe.
Passo 3
Vamos testar a função ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos. Começaremos pelo caminho onde
.
Quando
:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é
.
Passo 4
Agora, vamos considerar o caminho onde
.
Quando
:
Assim, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é
.
Passo 5
Observamos que ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos, obtivemos valores diferentes:
por um caminho e
por outro. Isso indica que o limite depende do caminho escolhido.
Resposta
Portanto, o limite
não existe.