Resolva as integrais das funções racionais:
integral (x^3-6) d xx^4+6 x^2+8

Passo 1

Temos a integral integral x^3 - 6x^4 + 6x^2 + 8,dx. O conteúdo aqui é integração de funções racionais; vamos precisar fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Observe que x^4 + 6x^2 + 8 pode ser fatorado como (x^2 + 2)(x^2 + 4).
Fazendo a decomposição em frações parciais, escrevemos
x^3 - 6(x^2+2)(x^2+4) = Ax+Bx^2+2 + Cx+Dx^2+4
Em seguida, vamos encontrar os coeficientes A,B,C,D.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x^2+2)(x^2+4) e agrupando termos, obtemos o sistema:
A + C = 1, B + D = 0, 4A + 2C = 0, 4B + 2D = -6
Resolvendo, achamos A = -1, C = 2, B = -3 e D = 3.

Passo 4

Substituindo na decomposição, a integral vira
integral l(-x-3x^2+2 + 2x+3x^2+4r),dx
Agora é só integrar termo a termo.

Passo 5

Integramos os dois termos com x no numerador:
integral -xx^2+2,dx = -tfrac12ln(x^2+2) + C1,
integral 2xx^2+4,dx = ln(x^2+4) + C2
Integramos agora os termos constantes:
integral -3x^2+2,dx = -3raiz2arctanl(tfracxraiz2r) + C3,
integral 3x^2+4,dx = 32arctanl(tfracx2r) + C4

Passo 6

Somando tudo e agrupando as constantes de integração, a antiderivada é obtida.

Resposta

ln(x^2+4) - tfrac12ln(x^2+2) + tfrac32arctanl(tfracx2r) - tfrac3raiz2arctanl(tfracxraiz2r) + C

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