Considere a>0. Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a região limitada no plano R subset R^2, a qual é delimitada pelas curvas y=a sinh (|x|a), y=0, x=a e x=-a, em torno:
(1) do eixo x.
(2) do eixo y.

Passo 1

Temos a região R no plano limitada por y = a sinh(|x|/a), y = 0 e x = ±a. O objetivo é encontrar os volumes gerados ao girar R em torno dos eixos x e y. Vamos usar o método de discos (para eixo x) e o método de cascas cilíndricas (para eixo y), além de identidades de funções hiperbólicas e técnicas de integração.

Passo 2

Para a rotação em torno do eixo x, usamos o método dos discos. Cada disco em x tem raio y = a sinh(|x|/a), então
Vx = pi integral-a^a [asinh(tfrac|x|a)]^2 ,dx

Passo 3

Aplicamos simetria em x (área par) e a substituição u = x/a para transformar a integral em
Vx = 2pi a^3 integral0^1 sinh^2(u),du
Usamos a identidade sinh^2(u)=cosh(2u)-12 e obtemos
integral0^1sinh^2(u),du = 12l[sinh(2u)2-ur]0^1 = sinh(2)4-12
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Vx = 2pi a^3l(sinh(2)4-12r)=pi a^3l(sinh(2)2-1r)

Passo 4

Para a rotação em torno do eixo y, usamos cascas cilíndricas. Cada casca em x ≥ 0 tem raio x e altura y = a sinh(x/a). Como a região é simétrica,
Vy = 2pi integral-a^a |x|,y,dx = 4pi a integral0^a xsinhl(tfracxar),dx

Passo 5

Fazemos u = x/a (x = a u, dx = a du) e obtemos
Vy = 4pi a^3 integral0^1 usinh(u),du
Usamos integração por partes: integral usinh(u)du = ucosh(u)-sinh(u). Então
integral0^1usinh(u)du = l[ ucosh(u)-sinh(u)r]0^1 = cosh(1)-sinh(1)=e^-1
Portanto
Vy = 4pi a^3 e^-1

Resposta

Para a rotação em torno do eixo x: Vx = pi a^3l(tfracsinh(2)2-1r). Para a rotação em torno do eixo y: Vy = 4pi a^3 e^-1.

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