Considere
. Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a região limitada no plano
, a qual é delimitada pelas curvas
e
, em torno:
(1) do eixo
.
(2) do eixo
.
(1) do eixo
(2) do eixo
Passo 1
Temos a região R no plano limitada por y = a sinh(|x|/a), y = 0 e x = ±a. O objetivo é encontrar os volumes gerados ao girar R em torno dos eixos x e y. Vamos usar o método de discos (para eixo x) e o método de cascas cilíndricas (para eixo y), além de identidades de funções hiperbólicas e técnicas de integração.
Passo 2
Para a rotação em torno do eixo x, usamos o método dos discos. Cada disco em x tem raio y = a sinh(|x|/a), então
Passo 3
Aplicamos simetria em x (área par) e a substituição u = x/a para transformar a integral em
Usamos a identidade
e obtemos
Logo
Passo 4
Para a rotação em torno do eixo y, usamos cascas cilíndricas. Cada casca em x ≥ 0 tem raio x e altura y = a sinh(x/a). Como a região é simétrica,
Passo 5
Fazemos u = x/a (x = a u, dx = a du) e obtemos
Usamos integração por partes:
. Então
Portanto
Resposta
Para a rotação em torno do eixo x:
. Para a rotação em torno do eixo y:
.