Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
Vamos começar recortando bem o que o exercício pede: calcular
usando série de Taylor. O assunto aqui é expansão de Maclaurin (Taylor em torno de zero) para funções trigonométricas, e vamos precisar das expansões de
e
.
Passo 2
A ferramenta principal é a expansão em série de Taylor. Sabemos que, para
pequeno, valem as expansões:
Aqui o termo
indica os termos de ordem igual ou superior a
, que vão sumir no limite.
Passo 3
Agora substituímos essas expansões na expressão do limite. Primeiro o numerador:
E o denominador:
Passo 4
Agora montamos o quociente:
Podemos fatorar
em cima e embaixo:
Passo 5
Quando
, os termos
e
vão para zero, então o quociente tende a
Portanto, o limite procurado é
.
Resposta
1/3