Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
lim x 0 tan (x)-xx^3 cos (x)

Passo 1

Vamos começar recortando bem o que o exercício pede: calcular limxto0tan(x)-xx^3cos(x) usando série de Taylor. O assunto aqui é expansão de Maclaurin (Taylor em torno de zero) para funções trigonométricas, e vamos precisar das expansões de tan(x) e cos(x).

Passo 2

A ferramenta principal é a expansão em série de Taylor. Sabemos que, para x pequeno, valem as expansões:
tan(x)=x+x^33+O(x^5),
cos(x)=1-x^22+x^424+O(x^6)
Aqui o termo O(x^n) indica os termos de ordem igual ou superior a x^n, que vão sumir no limite.

Passo 3

Agora substituímos essas expansões na expressão do limite. Primeiro o numerador:
tan(x)-x = l(x+x^33+O(x^5)r)-x = x^33+O(x^5)
E o denominador:
x^3cos(x)=x^3l(1-x^22+O(x^4)r)=x^3-x^52+O(x^7)

Passo 4

Agora montamos o quociente:
tan(x)-xx^3cos(x)=x^33+O(x^5)x^3l(1-x^22+O(x^4)r)
Podemos fatorar x^3 em cima e embaixo:
=x^3l(13+O(x^2)r)x^3l(1-x^22+O(x^4)r)=13+O(x^2)1-x^22+O(x^4)

Passo 5

Quando xto0, os termos O(x^2) e O(x^4) vão para zero, então o quociente tende a
1/3+01-0=13
Portanto, o limite procurado é 1/3.

Resposta

1/3

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