Determine a seguinte integral imprópria, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
A gente precisa calcular a integral imprópria
. O conteúdo aqui é integração de função racional e convergência de integrais impróprias. Pra resolver, vamos verificar convergência, completar o quadrado, usar uma substituição e aplicar a primitiva de
.
Passo 2
Primeiro, garantir que a integral converge: o denominador
nunca zera, porque
para todo
. Para |x| grande,
e sabemos que
converge, logo nossa integral também converge absolutamente.
Passo 3
Agora, completar o quadrado no denominador:
Isso deixa a integral no formato padrão de
.
Passo 4
Fazer a troca de variável
. Então
e, como
implica
, a integral vira
Passo 5
Usar a primitiva padrão para
:
Então uma antiderivada é
.
Passo 6
Avaliar como integral imprópria pelos limites simétricos:
Como
quando
, vem