Determine a seguinte integral imprópria, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral-infty^infty 1x^2-2 x+6 d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral imprópria integral-infty^infty 1x^2-2x+6,dx. O conteúdo aqui é integração de função racional e convergência de integrais impróprias. Pra resolver, vamos verificar convergência, completar o quadrado, usar uma substituição e aplicar a primitiva de 1/(t^2+a^2).

Passo 2

Primeiro, garantir que a integral converge: o denominador x^2 -2x +6 = (x-1)^2 +5 nunca zera, porque (x-1)^2+5>0 para todo x. Para |x| grande, 1/(x^2-2x+6)approx1/x^2 e sabemos que integral^infty1/x^2,dx converge, logo nossa integral também converge absolutamente.

Passo 3

Agora, completar o quadrado no denominador:
x^2 - 2x +6 = (x-1)^2 +5
Isso deixa a integral no formato padrão de 1/(t^2+a^2).

Passo 4

Fazer a troca de variável t = x -1. Então dx = dt e, como xtopminfty implica ttopminfty, a integral vira
integral-infty^infty 1t^2+5,dt

Passo 5

Usar a primitiva padrão para a=raiz5:
integral 1t^2+a^2,dt = 1aarctanl(tar)
Então uma antiderivada é 1raiz5arctanl(tfractraiz5r).

Passo 6

Avaliar como integral imprópria pelos limites simétricos:
I = limAtoinftyintegral-A^A 1t^2+5,dt = limAtoinftyl[1raiz5arctanl(tfractraiz5r)r]-A^A
Como arctan(u)topmtfracpi2 quando utopminfty, vem
I = 1raiz5l(tfracpi2 - (-tfracpi2)r) = piraiz5

Resposta

piraiz5

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