Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
lim x 0 arcsin (x)-xx cos (x)-x

Passo 1

Neste exercício, temos o limite limxto 0 arcsin(x)-xxcos(x)-x. O conteúdo aqui é a expansão em série de Taylor de funções elementares ao redor de x=0. Vamos precisar das expansões de arcsin(x) e cos(x) até a ordem x^3.

Passo 2

Para expandir arcsin(x), usamos a série de Taylor:
arcsin(x) = x + x^36 + O(x^5)
Daí vemos que arcsin(x)-x = x^36 + O(x^5).

Passo 3

Para cos(x), a série de Taylor é
cos(x) = 1 - x^22 + O(x^4)
Multiplicando por x obtemos
xcos(x) = x - x^32 + O(x^5),
e logo xcos(x)-x = -x^32 + O(x^5).

Passo 4

Agora o numerador tem termo dominante x^36 e o denominador tem termo dominante -x^32. Os termos O(x^5) são irrelevantes para o limite.

Passo 5

Dividindo os termos principais e cancelando x^3 vem
x^36-x^32 = 1/6-1/2 = -13

Resposta

-13

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