Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
Neste exercício, temos o limite
. O conteúdo aqui é a expansão em série de Taylor de funções elementares ao redor de
. Vamos precisar das expansões de
e
até a ordem
.
Passo 2
Para expandir
, usamos a série de Taylor:
Daí vemos que
.
Passo 3
Para
, a série de Taylor é
Multiplicando por
obtemos
e logo
.
Passo 4
Agora o numerador tem termo dominante
e o denominador tem termo dominante
. Os termos
são irrelevantes para o limite.
Passo 5
Dividindo os termos principais e cancelando
vem