Considere a>0. Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a região limitada no plano R subset R^2, a qual é delimitada pelas curvas y=0 e y=ax-4x^2, em torno:
(1) do cixo x.
(2) do cixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que a gente forma ao girar uma região no plano em torno dos eixos x e y. A região é limitada pelas curvas $ y = 0 $ e $ y = ax - 4x^2 $ com $ a > 0 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente os métodos de discos e cascas cilíndricas para volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a região que estamos girando. As curvas são $ y = 0 $ (que é o eixo x) e $ y = ax - 4x^2 $. Vamos encontrar os pontos onde essas curvas se cruzam para saber os limites de integração.
Igualando as duas equações:
y = 0
y = ax - 4x^2
0 = ax - 4x^2
Então, $ x = 0 $ ou $ x = \frac{a}{4} $.
Portanto, a região está entre $ x = 0 $ e $ x = \frac{a}{4} $.

Passo 3

Agora vamos calcular o volume quando giramos a região em torno do eixo x. Para isso, usamos o método dos discos. A ideia é que, ao girar em torno do eixo x, cada pequeno pedaço da região forma um disco com raio igual à função $ y = ax - 4x^2 $.
A fórmula do volume usando discos é:
y = ax - 4x^2
Substituindo $ y $:
V = pi integral0^a4 [y]^2 , dx

Passo 4

Vamos expandir e integrar:
(ax - 4x^2)^2 = a^2x^2 - 8a x^3 + 16x^4
Então,
V = pi integral0^a4 ( a^2x^2 - 8a x^3 + 16x^4 ) dx
Integrando termo a termo:
V = pi [ a^23x^3 - 2a x^4 + 165x^5 ]0^a4
Substituindo $ x = \frac{a}{4} $:
x = a4
Simplificando:
V = pi ( a^23 ( a4 )^3 - 2a ( a4 )^4 + 165 ( a4 )^5 )
Encontrando um denominador comum e somando:
V = pi ( a^5192 - a^5128 + a^580 )
Simplificando:
V = pi ( 5a^5 - 7.5a^5 + 4.8a^5960 ) = pi ( 2.3a^5960 ) = 23pi a^59600

Passo 5

Agora vamos calcular o volume quando giramos a região em torno do eixo y. Para isso, usamos o método das cascas cilíndricas. Aqui, cada pequeno pedaço vertical da região forma uma casca quando girado em torno do eixo y.
A fórmula do volume usando cascas é:
V = 2pi integral0^a4 x cdot y , dx
Substituindo $ y = ax - 4x^2 $:
y = ax - 4x^2

Passo 6

Integrando:
V = 2pi [ a3x^3 - x^4 ]0^a4
Substituindo $ x = \frac{a}{4} $:
x = a4
Simplificando:
V = 2pi ( a3 ( a4 )^3 - ( a4 )^4 )
Encontrando um denominador comum e somando:
V = 2pi ( a^4192 - a^4256 )

Resposta

  1. O volume ao rotacionar a região em torno do eixo x é $ \frac{23\pi a^5}{9600} $.
  2. O volume ao rotacionar a região em torno do eixo y é $ \frac{\pi a^4}{384} $.

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