Considere
. Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a região limitada no plano
, a qual é delimitada pelas curvas
e
, em torno:
(1) do cixo
.
(2) do cixo
.
(1) do cixo
(2) do cixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que a gente forma ao girar uma região no plano em torno dos eixos x e y. A região é limitada pelas curvas $ y = 0 $ e $ y = ax - 4x^2 $ com $ a > 0 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente os métodos de discos e cascas cilíndricas para volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a região que estamos girando. As curvas são $ y = 0 $ (que é o eixo x) e $ y = ax - 4x^2 $. Vamos encontrar os pontos onde essas curvas se cruzam para saber os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Então, $ x = 0 $ ou $ x = \frac{a}{4} $.
Portanto, a região está entre $ x = 0 $ e $ x = \frac{a}{4} $.
Passo 3
Agora vamos calcular o volume quando giramos a região em torno do eixo x. Para isso, usamos o método dos discos. A ideia é que, ao girar em torno do eixo x, cada pequeno pedaço da região forma um disco com raio igual à função $ y = ax - 4x^2 $.
A fórmula do volume usando discos é:
Substituindo $ y $:
Passo 4
Vamos expandir e integrar:
Então,
Integrando termo a termo:
Substituindo $ x = \frac{a}{4} $:
Simplificando:
Encontrando um denominador comum e somando:
Simplificando:
Passo 5
Agora vamos calcular o volume quando giramos a região em torno do eixo y. Para isso, usamos o método das cascas cilíndricas. Aqui, cada pequeno pedaço vertical da região forma uma casca quando girado em torno do eixo y.
A fórmula do volume usando cascas é:
Substituindo $ y = ax - 4x^2 $:
Passo 6
Integrando:
Substituindo $ x = \frac{a}{4} $:
Simplificando:
Encontrando um denominador comum e somando:
Resposta
- O volume ao rotacionar a região em torno do eixo x é $ \frac{23\pi a^5}{9600} $.
- O volume ao rotacionar a região em torno do eixo y é $ \frac{\pi a^4}{384} $.