Determine a seguinte integral imprópria, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
Vamos reescrever o enunciado: queremos calcular a integral imprópria
O conteúdo aqui envolve integrais impróprias, substituição de variáveis e o Teorema Fundamental do Cálculo; vamos precisar identificar uma primitiva e verificar a convergência no infinito.
Passo 2
Observamos que
Para simplificar, fazemos a substituição
Quando
,
; quando
,
. Assim
Passo 3
Reconhecemos que a derivada de
é
Logo uma primitiva de
é
.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo de
a
, temos
Como
e
, obtemos
Passo 5
Não esquecer do fator
que ficou fora da integral. Assim
A integral converge porque sua primitiva tem limite finito quando
.