Determine a seguinte integral imprópria, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral0^infty arctan (3 x+1)9 x^2+6 x+2 d x

Passo 1

Vamos reescrever o enunciado: queremos calcular a integral imprópria
I=integral0^infty arctan(3x+1)9x^2+6x+2,dx
O conteúdo aqui envolve integrais impróprias, substituição de variáveis e o Teorema Fundamental do Cálculo; vamos precisar identificar uma primitiva e verificar a convergência no infinito.

Passo 2

Observamos que
9x^2+6x+2=(3x+1)^2+1
Para simplificar, fazemos a substituição
u=3x+1, dx=du3
Quando x=0, u=1; quando xtoinfty, utoinfty. Assim
I=integralu=1^inftyarctan(u)u^2+1cdotdu3=13integral1^inftyarctan(u)u^2+1,du

Passo 3

Reconhecemos que a derivada de tfrac12(arctan u)^2 é
ddul[tfrac12(arctan u)^2r]=arctan(u)cdot11+u^2
Logo uma primitiva de tfracarctan(u)1+u^2 é F(u)=tfrac12(arctan u)^2.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo de u=1 a u=infty, temos
integral1^inftyarctan(u)1+u^2,du=limRtoinftyF(R)-F(1)=limRtoinfty(arctan R)^22-(arctan1)^22
Como arctan Rtotfracpi2 e arctan1=tfracpi4, obtemos
integral1^inftyarctan(u)1+u^2,du=(tfracpi2)^22-(tfracpi4)^22=pi^28-pi^232=3pi^232

Passo 5

Não esquecer do fator 1/3 que ficou fora da integral. Assim
I=13cdot3pi^232=pi^232
A integral converge porque sua primitiva tem limite finito quando xtoinfty.

Resposta

dfracpi^232

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