Considere um dipolo elétrico constituído por uma carga -q em r-=(0,0,-d) e uma carga +q em r+=(0,0,+d), onde q>0. Em coordenadas cilíndricas, o campo deste dipolo é dado por:
& E(s, theta, z)=E(s, z)=q4 pi varepsilon0[s(1[s^2+(z-d)^2]^3 / 2-1[s^2+(z+d)^2]^3 / 2) s &+((z-d)[s^2+(z-d)^2]^3 / 2-(z+d)[s^2+(z+d)^2]^3 / 2) k]
A partir da expressão geral acima, determine:
O campo no plano z=0: E(s, 0).

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que a gente já tem a expressão do campo de um dipolo elétrico (duas cargas ± q separadas por 2d ao longo do eixo z) em coordenadas cilíndricas:
E(s,z) =q4pivarepsilon0gl[ sl(tfrac1[s^2+(z-d)^2]^3/2-tfrac1[s^2+(z+d)^2]^3/2r),hat s +l(tfrac(z-d)[s^2+(z-d)^2]^3/2-tfrac(z+d)[s^2+(z+d)^2]^3/2r),hat k gr]
A tarefa é achar esse campo quando a gente está exatamente no plano z=0.
Conteúdo: eletrostática, campo de cargas pontuais e princípio da superposição.
O que vamos fazer: colocar z=0 na fórmula e simplificar componente a componente.

Passo 2

Calcular a componente radial (\hat s) em z=0.
Teoria rápida: o termo em \hat s vem da diferença
1[s^2+(0-d)^2]^3/2 -1[s^2+(0+d)^2]^3/2 =1[s^2+d^2]^3/2-1[s^2+d^2]^3/2=0
Ou seja, no plano z=0 as distâncias são as mesmas e aquele parêntese zera. Logo
Es(s,0)=q4pivarepsilon0;scdot0;=;0

Passo 3

Calcular a componente axial (\hat k) em z=0.
O termo é
(0-d)[s^2+(0-d)^2]^3/2 -(0+d)[s^2+(0+d)^2]^3/2 =-d[s^2+d^2]^3/2 -d[s^2+d^2]^3/2 =-2d[s^2+d^2]^3/2
Então
Ek(s,0) =q4pivarepsilon0,l(-tfrac2d[s^2+d^2]^3/2r) =-2qd4pivarepsilon0,(s^2+d^2)^3/2

Passo 4

Juntando as duas componentes (\hat s e \hat k) a gente tem
vec E(s,0) =Es,hat s+Ek,hat k =0;hat s -2qd4pivarepsilon0,(s^2+d^2)^3/2;hat k
Dá para simplificar o 2/4 e escrever de forma mais “bonitinha”:

Resposta

boxed vec E(s,0) =-qd2pivarepsilon0,(s^2+d^2)^3/2;hat k

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