Considere um dipolo elétrico constituído por uma carga -q em r-=(0,0,-d) e uma carga +q em r+=(0,0,+d), onde q>0. Em coordenadas cilíndricas, o campo deste dipolo é dado por:
& E(s, theta, z)=E(s, z)=q4 pi varepsilon0[s(1[s^2+(z-d)^2]^3 / 2-1[s^2+(z+d)^2]^3 / 2) s &+((z-d)[s^2+(z-d)^2]^3 / 2-(z+d)[s^2+(z+d)^2]^3 / 2) k]
A partir da expressão geral acima, determine:
O campo sobre o eixo z, E(0, z), para |z|.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A ideia é pegar a expressão geral do campo elétrico de um dipolo em coordenadas cilíndricas,
E(s,z)=q4pivarepsilon0gl[sl(1[s^2+(z-d)^2]^3/2-1[s^2+(z+d)^2]^3/2r),hat s +l(z-d[s^2+(z-d)^2]^3/2-z+d[s^2+(z+d)^2]^3/2r),hat kgr]
e achar esse campo ao longo do eixo , ou seja para , na região entre as cargas ( ).
Conteúdo: campo de dipolo, limites de funções em coordenadas cilíndricas e valor absoluto de distâncias.

Passo 2

Primeiro, coloca Es= q4pivarepsilon0,sl(cdotsr)|s=0=0, na expressão. Note que o termo na direção vem multiplicado por , então

Ou seja, não tem componente radial no eixo.

Passo 3

Fica só a componente em Ez(0,z)=q4pivarepsilon0l[z-dl[0+(z-d)^2r]^3/2-z+dl[0+(z+d)^2r]^3/2r]:
Ez(0,z)=q4pivarepsilon0l[-1(d-z)^2-1(d+z)^2r] ,
Como e (lembre que faz e ), temos

e

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Resposta

boxedvec E(0,z)=Ez(0,z),hat kcom Ez(0,z)=-q4pivarepsilon0l[1(d-z)^2+1(d+z)^2r](|z|

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