Considere um dipolo elétrico constituído por uma carga em e uma carga em , onde . Em coordenadas cilíndricas, o campo deste dipolo é dado por:
A partir da expressão geral acima, determine:
O campo sobre o eixo , para .
Passo 1
Beleza, a questão fala de um dipolo elétrico com cargas ±q separadas ao longo do eixo z, e já nos dá o campo em coordenadas cilíndricas:
Conteúdo necessário:
No eixo z, a coordenada radial .
Saber que o vetor unitário some quando .
Cálculo algébrico simples para simplificar a parte em .
Passo 2
Vamos pôr . O termo na direção fica
ou seja, o componente radial some. Só sobra o componente ao longo de hat k:
vec E(0,z) =q4pivarepsilon0[ z-d[,0+(z-d)^2]^3/2 -z+d[,0+(z+d)^2]^3/2 ]hat k
Passo 3
Note que [,0+(zpm d)^2]^3/2=(|zpm d|)^3. Então
vec E(0,z) =q4pivarepsilon0[ z-d|z-d|^3-z+d|z+d|^3 ]hat k
Passo 4
Para pontos fora das cargas, isto é |z|>d, tanto z-d quanto z+d têm o mesmo sinal de z, então |zpm d|=zpm d se z>d, ou |zpm d|=-(zpm d) se z< -d. Em ambos os casos zpm d|zpm d|^3=1(zpm d)^2 vezes o sinal de zpm d, que cancela com o de cima. Assim fica mais simples: