Considere um dipolo elétrico constituído por uma carga -q em r-=(0,0,-d) e uma carga +q em r+=(0,0,+d), onde q>0. Em coordenadas cilíndricas, o campo deste dipolo é dado por:
& E(s, theta, z)=E(s, z)=q4 pi varepsilon0[s(1[s^2+(z-d)^2]^3 / 2-1[s^2+(z+d)^2]^3 / 2) s &+((z-d)[s^2+(z-d)^2]^3 / 2-(z+d)[s^2+(z+d)^2]^3 / 2) k]
A partir da expressão geral acima, determine:
O campo sobre o eixo z, E(0, z), para |z|>d.

Passo 1

Beleza, a questão fala de um dipolo elétrico com cargas ±q separadas ao longo do eixo z, e já nos dá o campo em coordenadas cilíndricas:
E(s,z) =q4pivarepsilon0g[ s(1[s^2+(z-d)^2]^3/2-1[s^2+(z+d)^2]^3/2),hat s +(z-d[s^2+(z-d)^2]^3/2-z+d[s^2+(z+d)^2]^3/2),hat k g]
Conteúdo necessário:
  1. No eixo z, a coordenada radial s=0.
  2. Saber que o vetor unitário hat s some quando s=0.
  3. Cálculo algébrico simples para simplificar a parte em hat k.

Passo 2

Vamos pôr s=0. O termo na direção hat s fica
s(1[,s^2+(z-d)^2]^3/2-1[,s^2+(z+d)^2]^3/2)g|s=0 =0cdot(dots)=0,
ou seja, o componente radial some. Só sobra o componente ao longo de hat k:
vec E(0,z) =q4pivarepsilon0[ z-d[,0+(z-d)^2]^3/2 -z+d[,0+(z+d)^2]^3/2 ]hat k

Passo 3

Note que [,0+(zpm d)^2]^3/2=(|zpm d|)^3. Então
vec E(0,z) =q4pivarepsilon0[ z-d|z-d|^3-z+d|z+d|^3 ]hat k

Passo 4

Para pontos fora das cargas, isto é |z|>d, tanto z-d quanto z+d têm o mesmo sinal de z, então |zpm d|=zpm d se z>d, ou |zpm d|=-(zpm d) se z< -d. Em ambos os casos zpm d|zpm d|^3=1(zpm d)^2 vezes o sinal de zpm d, que cancela com o de cima. Assim fica mais simples:
vec E(0,z) =q4pivarepsilon0[ 1(z-d)^2-1(z+d)^2 ]hat k, |z|>d

Resposta

boxed vec E(0,z) =q4pivarepsilon0(1(z-d)^2-1(z+d)^2),hat k, |z|>d

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