Considere um dipolo elétrico formado por duas cargas pontuais, +q e -q, separadas por uma distância d. O dipolo está alinhado ao longo do eixo y, com a carga +q localizada em y=+d / 2 e a carga -q localizada em z=-d / 2. Calcule o campo elétrico E em um ponto P no eixo x, a uma distância r do centro do dipolo, onde r gg d.

Passo 1

Então, mano, o que temos aqui? Um dipolo elétrico é só duas cargas iguais e opostas, +q e –q, separadas por uma distância d. Elas estão alinhadas no eixo y: +q em y=+d/2 e –q em y=–d/2. A gente quer achar o campo elétrico E num ponto P que fica no eixo x, bem longe do dipolo (r≫d).
Conteúdo: Lei de Coulomb e dipolo elétrico.
O que vai entrar:
  1. Cálculo do campo de cada carga pelo vetor de Coulomb
  2. Expansão em série (binomial) pra r≫d
  3. Soma vetorial das componentes

Passo 2

Bora escrever o campo de cada carga em P. A Lei de Coulomb diz que a contribuição de uma carga Q em P é
E = 14pivarepsilon0,QR^2,R,
onde é a distância da carga até P e o versor que aponta da carga para P.
No nosso caso, P = (r,0), carga +q em (0,+d/2) e –q em (0,–d/2).

Passo 3

Calcular o vetor de cada contribuição:
Para +q:
  • vetor de P para +q: E+ = 14pivarepsilon0,q(r^2+(d/2)^2),(r,,-d/2)(r^2+(d/2)^2)^1/2 = q4pivarepsilon0,(r,,-d/2)(r^2+(d/2)^2)^3/2
  • distância E- = -q4pivarepsilon0,(r,,d/2)(r^2+(d/2)^2)^3/2
  • versor
    Então
Para –q, mesmo esquema:
,

Passo 4

Agora soma Ex = q4pivarepsilon0r(r^2+(d/2)^2)^3/2 ;-;q4pivarepsilon0r(r^2+(d/2)^2)^3/2 = 0 . Vamos ver componente a componente:
Ex:
Ey = q4pivarepsilon0(-d/2(r^2+(d/2)^2)^3/2) ;+;-q4pivarepsilon0(d/2(r^2+(d/2)^2)^3/2) = -q,d4pivarepsilon0,(r^2+(d/2)^2)^3/2
Fica zero, até ordem .
Ey:

Passo 5

Como Ey approx -q,d4pivarepsilon0,r^3 , a gente usa a expansão binomial:
E(P)approx -14pivarepsilon0,pr^3,y .
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E como o momento de dipolo é , temos

Resposta

boxedE(P);=;-14pivarepsilon0,pr^3,y,onde p=q,d

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