Considere um disco circular de raio R que tem carga +q distribuída uniformemente por toda a superfície. Uma carga pontual positiva qo é posicionada no eixo de simetria (eixo z) do disco a uma distância z do centro do disco. Determine a força elétrica aplicada pelo disco sobre a carga pontual.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos um disco de raio com carga total distribuída uniformemente na sua superfície. No eixo central desse disco (eixo ) colocamos uma carga pontual a uma distância do centro. A gente quer achar a força elétrica que o disco aplica nessa carga .
Conteúdo: eletrostática, lei de Coulomb, campo elétrico de uma distribuição contínua (disco). Vamos precisar usar superposição, dividir o disco em anéis e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a densidade superficial de carga do disco, que é
sigma = qpi R^2
Isso significa que cada pedacinho de área do disco carrega .

Passo 3

Agora, a técnica é dividir o disco em anéis concêntricos de raio variável dQ = sigma,dA = sigma,(2pi r,dr) e espessura .
– Cada anel tem área .
– A carga desse anel é

Passo 4

Sabemos que o campo elétrico no eixo de um anel de carga dEz = 14pi varepsilon0,dQ;zl(r^2 + z^2r)^3/2, a uma distância do plano do anel é
e esse campo aponta ao longo do eixo . Como tudo tem simetria de revolução, só precisamos da componente .

Passo 5

Substituindo dEz = 14pi varepsilon0,sigma,(2pi r,dr),z(r^2+z^2)^3/2 = sigma,z2varepsilon0,r,dr(r^2+z^2)^3/2 e Ez = integral0^R dEz = sigma,z2varepsilon0integral0^R r,dr(r^2+z^2)^3/2 :
Ez = sigma2varepsilon0,l(1 - zraizz^2+R^2r)
Agora integramos de a :
Fazendo a integral (substituição ), dá
Lembre que .

Passo 6

A força sobre a carga Fz = q0,Ez = q0,12varepsilon0,qpi R^2, l(1 - zraizz^2+R^2r) é , e como tudo aponta no eixo , temos

Resposta

boxedF = q0,q2pivarepsilon0,R^2 l(1 - zraizz^2 + R^2r)(repulsiva ao longo de (+hat z))

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