Considere um disco fino de raio
e massa
uniformemente distribuída sobre sua área. Se
, mostre que esta expressão se reduz àquela para duas partículas.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre um disco fino com raio
e massa
distribuída de maneira uniforme. A gente quer mostrar que, quando a distância
é muito maior que o raio
(
), a expressão que descreve alguma propriedade desse disco se simplifica e fica igual à de duas partículas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição de massa e aproximações em física, especialmente quando lidamos com distâncias grandes comparadas ao tamanho do objeto.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar como a massa está distribuída no disco. Como é uniformemente distribuída, a densidade superficial de massa é constante. A densidade superficial (
) é a massa por unidade de área:
Passo 3
Agora, vamos pensar na força gravitacional ou no potencial gravitacional criado por esse disco em um ponto a uma distância
perpendicular ao centro do disco. A expressão geral para o potencial gravitacional de um disco é um pouco complicada, mas queremos simplificar isso para o caso onde
.
Passo 4
Quando
é muito maior que
, a distância entre o ponto de observação e qualquer ponto do disco é aproximadamente
. Isso significa que todos os pontos do disco estão quase na mesma distância do ponto de observação. Então, podemos simplificar a contribuição de cada elemento de massa do disco como se estivesse a uma distância fixa
.
Passo 5
Com essa aproximação, o potencial gravitacional total devido ao disco se torna a soma de contribuições de todas as partes do disco, mas como estão todas a aproximadamente a mesma distância
, podemos considerar o disco como uma única massa concentrada no centro. Assim, a expressão do potencial se torna igual à de uma única partícula com massa
no centro.
Passo 6
Porém, a questão pede para mostrar que a expressão se reduz àquela para duas partículas. Isso se refere a considerar o disco como duas massas pontuais, cada uma com metade da massa total, separadas por uma distância igual a zero (pois estamos olhando de onde
). Nesse caso, a interação entre essas duas partículas se comporta de maneira semelhante à interação de um objeto massivo (o disco) com o ponto de observação distante.
Resposta
Então, mostramos que quando a distância
é muito maior que o raio
do disco, a expressão para a interação gravitacional do disco se simplifica e se comporta como se fosse composta por duas partículas pontuais, cada uma com metade da massa total do disco. Isso valida a aproximação de tratar o disco como duas partículas em situações de grandes distâncias.