Considere um disco fino de raio R e massa m disco uniformemente distribuída sobre sua área. Se y gg R, mostre que esta expressão se reduz àquela para duas partículas.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre um disco fino com raio R e massa mdisco distribuída de maneira uniforme. A gente quer mostrar que, quando a distância y é muito maior que o raio R ( y gg R), a expressão que descreve alguma propriedade desse disco se simplifica e fica igual à de duas partículas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição de massa e aproximações em física, especialmente quando lidamos com distâncias grandes comparadas ao tamanho do objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar como a massa está distribuída no disco. Como é uniformemente distribuída, a densidade superficial de massa é constante. A densidade superficial ( sigma) é a massa por unidade de área:
sigma = mdiscopi R^2

Passo 3

Agora, vamos pensar na força gravitacional ou no potencial gravitacional criado por esse disco em um ponto a uma distância y perpendicular ao centro do disco. A expressão geral para o potencial gravitacional de um disco é um pouco complicada, mas queremos simplificar isso para o caso onde y gg R.

Passo 4

Quando y é muito maior que R, a distância entre o ponto de observação e qualquer ponto do disco é aproximadamente y. Isso significa que todos os pontos do disco estão quase na mesma distância do ponto de observação. Então, podemos simplificar a contribuição de cada elemento de massa do disco como se estivesse a uma distância fixa y.

Passo 5

Com essa aproximação, o potencial gravitacional total devido ao disco se torna a soma de contribuições de todas as partes do disco, mas como estão todas a aproximadamente a mesma distância y, podemos considerar o disco como uma única massa concentrada no centro. Assim, a expressão do potencial se torna igual à de uma única partícula com massa mdisco no centro.

Passo 6

Porém, a questão pede para mostrar que a expressão se reduz àquela para duas partículas. Isso se refere a considerar o disco como duas massas pontuais, cada uma com metade da massa total, separadas por uma distância igual a zero (pois estamos olhando de onde y gg R). Nesse caso, a interação entre essas duas partículas se comporta de maneira semelhante à interação de um objeto massivo (o disco) com o ponto de observação distante.

Resposta

Então, mostramos que quando a distância y é muito maior que o raio R do disco, a expressão para a interação gravitacional do disco se simplifica e se comporta como se fosse composta por duas partículas pontuais, cada uma com metade da massa total do disco. Isso valida a aproximação de tratar o disco como duas partículas em situações de grandes distâncias.

Exercícios relacionados