Um elétron está confinado no estado fundamental de um poço finito com largura L=100 pm e U0= 12 E1-P P I. Qual é o maior comprimento de onda de luz capaz de libertar o elétron do poço de potencial por absorção de um único fóton?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um elétron que está preso no estado mais baixo dentro de um poço de potencial finito. A largura desse poço é de $ L = 100 $ pm e a altura do poço é $ U_0 = 12 $ eV. Nosso objetivo é descobrir qual é o maior comprimento de onda da luz que consegue liberar esse elétron do poço ao absorver um único fóton. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre quantização de energia em poços de potencial e a relação entre energia e comprimento de onda da luz.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que em um poço de potencial finito, os níveis de energia permitidos para o elétron são quantizados. Isso significa que o elétron só pode ter certos valores específicos de energia. Para o estado fundamental (o mais baixo), a energia do elétron está definida pela largura do poço e pela profundidade $ U_0 $.

Passo 3

A energia do estado fundamental em um poço de potencial unidimensional infinito é dada por:
E1 = pi^2 hbar^22 m L^2
onde:
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar \approx 1,054 \times 10^{-34} $ J·s),
  • $ m $ é a massa do elétron ($ m \approx 9,11 \times 10^{-31} $ kg),
  • $ L $ é a largura do poço.
Entretanto, nosso poço é finito, então a energia do estado fundamental será um pouco menor que essa.

Passo 4

Para simplificar, vamos considerar que a energia necessária para o elétron escapar do poço é aproximadamente $ U_0 $. Então, a energia total que o fóton precisa ter para libertar o elétron é a soma da energia do estado fundamental mais $ U_0 $:
U0 ó

Passo 5

Agora, vamos calcular $ E_1 $ usando a fórmula mencionada:
E1
Substituindo os valores:
E1 = pi^2 hbar^22 m L^2
Fazendo as contas:
E1 = pi^2 (1,054 times 10^-34)^22 times 9,11 times 10^-31 times (100 times 10^-12)^2
Convertendo para elétron-volts (1 eV = $ 1,602 \times 10^{-19} $ J):
E1 approx 6,02 times 10^-20 J

Passo 6

Agora, somamos $ E_1 $ com $ U_0 $:
E1 ó

Passo 7

Sabemos que a energia de um fóton está relacionada ao seu comprimento de onda pela fórmula:
E = hclambda
onde:
  • $ h $ é a constante de Planck ($ h \approx 6,626 \times 10^{-34} $ J·s),
  • $ c $ é a velocidade da luz ($ c \approx 3 \times 10^8 $ m/s),
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda.
Queremos o maior comprimento de onda, o que corresponde à menor energia necessária. Portanto, rearranjamos a fórmula para encontrar $ \lambda $:
h

Passo 8

Vamos calcular $ \lambda $:
lambda
Fazendo as contas:
lambda = 6,626 times 10^-34 times 3 times 10^812,376 times 1,602 times 10^-19
Convertendo para nanômetros:
lambda approx 1,9878 times 10^-251,9835 times 10^-18 approx 1,002 times 10^-7 m

Resposta

O maior comprimento de onda de luz capaz de libertar o elétron do poço de potencial é aproximadamente $ 100 $ nm.

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