Um elétron é confinado em um tubo estreito, evacuado, com
de comprimento; o tubo se comporta como um poço de potencial unidimensional infinito. Calcule a energia total do elétron em termos da energia de repouso e
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um elétron que está preso dentro de um tubo muito estreito com 3,0 metros de comprimento. Esse tubo age como um poço de potencial unidimensional infinito, ou seja, o elétron não pode sair desse espaço. Nosso objetivo é calcular a energia total desse elétron, levando em conta a sua energia de repouso e a energia que ele ganha por estar confinado nesse poço. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre poços de potencial infinitos e níveis de energia quantizados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, quando uma partícula como o elétron está confinada em um espaço limitado, suas energias possíveis não podem assumir qualquer valor, mas são quantizadas. Isso significa que o elétron só pode ter certos valores de energia específicos. No caso de um poço de potencial unidimensional infinito, esses níveis de energia são dados pela fórmula:
Onde:
- $ E_n $ é a energia no nível $ n $,
- $ n $ é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …),
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
- $ m $ é a massa do elétron,
- $ L $ é o comprimento do poço de potencial.
Passo 3
Vamos identificar os valores conhecidos para nosso problema:
- Comprimento do poço, $ L = 3,0 , m $,
- Massa do elétron, $ m = 9,11 \times 10^{-31} , kg $,
- Constante de Planck reduzida, $ \hbar = 1,0545718 \times 10^{-34} , J·s $.
Assumiremos que estamos interessados no primeiro nível de energia, ou seja, $ n = 1 $, que é o estado fundamental do elétron.
Passo 4
Vamos calcular a energia quantizada $ E_1 $ usando a fórmula mencionada:
Vamos simplificar passo a passo:
Primeiro, calcule $ \pi^2 $:
Agora, calcule $ \hbar^2 $:
Multiplicando por $ \pi^2 $:
Agora, calcule o denominador:
Passo 5
Agora, dividimos o numerador pelo denominador para obter $ E_1 $:
Passo 6
Para facilitar a interpretação, vamos converter essa energia para elétron-volts (eV), já que é uma unidade mais comum em física de partículas. Sabemos que:
Então,
Passo 7
Agora, vamos considerar a energia total do elétron, que é a soma da sua energia de repouso e a energia de confinamento que calculamos. A energia de repouso do elétron é dada por:
Onde $ c $ é a velocidade da luz ($ c = 3,00 \times 10^8 , m/s $). Calculando:
Convertendo para eV:
Resposta
A energia total do elétron é aproximadamente $ 511 , keV + 4,17 \times 10^{-20} , eV $. Considerando que a energia de confinamento é muito pequena em comparação com a energia de repouso, a energia total é essencialmente igual à energia de repouso do elétron, que é $ 511 , keV $.