Uma partícula confinada em um poço de potencial infinito de largura L está em seu primeiro estado excitado, correspondente a n=2. Determine a probabilidade de encontrar a partícula entre x=0 e x=L / 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula presa num poço de potencial infinito com largura L, especificamente no primeiro estado excitado (que é o caso quando n=2). Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de encontrar essa partícula entre x=0 e x=L4.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um poço de potencial infinito, as funções de onda das partículas são bem definidas e os possíveis estados energéticos são quantizados. A função de onda para o estado excitado com n=2 é dada por:
psi2(x) = raiz2L sin(2pi xL)
Aqui, psi2(x) descreve a posição da partícula no estado n=2.

Passo 3

A probabilidade de encontrar a partícula num intervalo específico é dada pelo quadrado da função de onda integrado sobre esse intervalo. Então, queremos calcular:
P = integral0^L4 |psi2(x)|^2 dx
Isso basicamente soma todas as pequenas probabilidades de encontrar a partícula em cada ponto entre 0 e L4.

Passo 4

Vamos substituir psi2(x) na integral:
P = integral0^L4 (raiz2L sin(2pi xL))^2 dx = 2L integral0^L4 sin^2(2pi xL) dx
Aqui, simplificamos o quadrado da função de onda.

Passo 5

Para resolver a integral de sin^2, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso na nossa integral:
P = 2L integral0^L4 1 - cos(4pi xL)2 dx = 1L integral0^L4 (1 - cos(4pi xL)) dx

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
P = 1L [ integral0^L4 1 , dx - integral0^L4 cos(4pi xL) dx ]
A primeira integral é simples, e a segunda envolve uma função cosseno.

Passo 7

Calculando as integrais:
  1. Para integral 1 , dx de 0 a L4:
integral0^L4 1 , dx = L4
  1. Para integral cos(4pi xL) dx de 0 a L4:
Vamos fazer uma substituição: seja u = 4pi xL, então du = 4piL dx, ou dx = L4pi du.
Então,
integral cos(u) cdot L4pi du = L4pi sin(u) + C = L4pi sin(4pi xL) + C
Aplicando os limites:
L4pi sin(4pi xL) |0^L4 = L4pi ( sin(pi) - sin(0) ) = L4pi (0 - 0) = 0

Passo 8

Voltando à expressão da probabilidade:
P = 1L ( L4 - 0 ) = 1L cdot L4 = 14

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula entre x=0 e x=L4 é boxeddfrac14.

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