Uma partícula confinada em um poço de potencial infinito de largura está em seu primeiro estado excitado, correspondente a . Determine a probabilidade de encontrar a partícula entre e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula presa num poço de potencial infinito com largura , especificamente no primeiro estado excitado (que é o caso quando ). Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de encontrar essa partícula entre e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um poço de potencial infinito, as funções de onda das partículas são bem definidas e os possíveis estados energéticos são quantizados. A função de onda para o estado excitado com é dada por:
Aqui, descreve a posição da partícula no estado .
Passo 3
A probabilidade de encontrar a partícula num intervalo específico é dada pelo quadrado da função de onda integrado sobre esse intervalo. Então, queremos calcular:
Isso basicamente soma todas as pequenas probabilidades de encontrar a partícula em cada ponto entre e .
Passo 4
Vamos substituir na integral:
Aqui, simplificamos o quadrado da função de onda.
Passo 5
Para resolver a integral de , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é simples, e a segunda envolve uma função cosseno.
Passo 7
Calculando as integrais:
Para de a :
Para de a :
Vamos fazer uma substituição: seja , então , ou .
Então,
Aplicando os limites:
Passo 8
Voltando à expressão da probabilidade:
P = 1L ( L4 - 0 ) = 1L cdot L4 = 14
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula entre x=0 e x=L4 é boxeddfrac14.