Considere um disco isolante de raio R, carregado com densidade superficial de carga sigma(r)=sigma0(1-r^2 / R^2), onde sigma0>0, no plano ( x, y ). Seu centro se encontra no ponto (0,0,0).
Calcule a carga total do sistema

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede pra gente achar a carga total de um disco isolante de raio sigma(r) ;=;sigma0l(1 - tfracr^2R^2r),, que tem densidade superficial de carga
onde é a distância ao centro.
Conteúdo: eletrostática básica + integração em coordenadas polares.
O que vamos precisar:
  • Reconhecer que carga total é .
  • Trocar pra coordenadas polares, onde .
  • Executar a integral em e .

Passo 2

Escrevendo a carga total:
Q = integral dupladisco sigma(r),dA = integral0^2pi!!integral0^R sigma0l(1 - tfracr^2R^2r),r,dr,dtheta
Por que isso?
  • percorre todo o ângulo do disco.
  • vai do centro até a borda.
  • é a área de um “anelzinho” de raio e espessura .

Passo 3

Vamos separar a integral em Q = sigma0l(integral0^2pi dthetar) l(integral0^R l(1 - tfracr^2R^2r),r,drr) = 2pi,sigma0!integral0^R!l(r - tfracr^3R^2r)dr e :

Passo 4

Agora faz a integral em integral0^R l(r - tfracr^3R^2r)dr = l[tfracr^22 - tfracr^44R^2r]0^R = tfracR^22 - tfracR^44R^2 = tfracR^22 - tfracR^24 = tfracR^24 :
Q = 2pi,sigma0,R^24 = pi,sigma0,R^22
Logo,

Resposta

A carga total do disco é
boxedQ = pi,sigma0,R^22

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