Um anel de raio R está uniformemente eletrizado com carga Q Coulombs, positiva. Um fio semi-infinito eletrizado com densidade linear de carga constante lambda Coulombs/metro, positiva, situa-se ao longo do eixo de simetria do anel, com sua extremidade à distância z= a do plano do anel. Determine:
a força (vetor!) que o fio exerce sobre o anel.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem:
  • Um anel de raio , com carga total , todo distribuído uniformemente.
  • Um fio semi-infinito com densidade linear de carga que começa em e vai para ao longo do eixo .
    Queremos achar a força vetorial que esse fio exerce sobre o anel.
    Conteúdo envolvido: eletrostática (Lei de Coulomb), superposição de campos e integração para somar todos os pedacinhos do fio.

Passo 2

Primeiro passo da resolução de fato: achar o campo elétrico dE = k,dq|r|^2,r com k=14pivarepsilon0, gerado pelo fio em um ponto qualquer do anel.
  1. Escolho um ponto genérico do anel: coordenadas .
  2. Tenho um elemento de carga do fio, , localizado em , com variando de até .
  3. A Lei de Coulomb diz que o campo desse é
onde é o vetor do elemento até o ponto do anel.

Passo 3

Agora a gente expressa esse vetor dEz = k,lambda,dz'(R^2+z'^2), -,z'raizR^2+z'^2 = -,klambda,z',dz'(R^2+z'^2)^3/2 e pega só a componente , porque as componentes radiais (no plano do anel) vão se anular pela simetria ao somar em todo o anel.
  • .
  • .
  • A componente ao longo de é

Passo 4

Integramos de Ez = integrala^inftydEz = -,klambda integrala^inftyz',dz'(R^2+z'^2)^3/2 até integral z,dz(R^2+z^2)^3/2 = -1raizR^2+z^2 + C :
Ez = -,klambdal[-1raizR^2+z'^2r]a^infty = -,klambda(0 - l(-tfrac1raizR^2+a^2r)) = -,klambdaraizR^2+a^2
Para resolver essa integral, usamos
Logo,
Ou seja, o campo total do fio no anel aponta no sentido .

Passo 5

A força total F = Q,E = Ql(0,0,Ezr) = -,14pivarepsilon0,lambda,QraizR^2+a^2,hat z sobre o anel é simplesmente a carga total vezes (já que em cada pedacinho do anel o campo é igual e podemos somar):

Resposta

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