Um anel de raio
está uniformemente eletrizado com carga
Coulombs, positiva. Um fio semi-infinito eletrizado com densidade linear de carga constante
Coulombs/metro, positiva, situa-se ao longo do eixo de simetria do anel, com sua extremidade à distância
a do plano do anel. Determine:
a força (vetor!) que o fio exerce sobre o anel.
a força (vetor!) que o fio exerce sobre o anel.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem:
- Um anel de raio
, com carga total , todo distribuído uniformemente. - Um fio semi-infinito com densidade linear de carga
que começa em e vai para ao longo do eixo .
Queremos achar a força vetorial que esse fio exerce sobre o anel.
Conteúdo envolvido: eletrostática (Lei de Coulomb), superposição de campos e integração para somar todos os pedacinhos do fio.
Passo 2
Primeiro passo da resolução de fato: achar o campo elétrico
gerado pelo fio em um ponto qualquer do anel.
- Escolho um ponto genérico do anel: coordenadas
. - Tenho um elemento de carga do fio,
, localizado em , com variando de até . - A Lei de Coulomb diz que o campo desse
é
onde
é o vetor do elemento até o ponto do anel.
Passo 3
Agora a gente expressa esse vetor
e pega só a componente
, porque as componentes radiais (no plano do anel) vão se anular pela simetria ao somar em todo o anel.
-
. -
. - A componente ao longo de
é
Passo 4
Integramos de
até
:
Para resolver essa integral, usamos
Logo,
Ou seja, o campo total do fio no anel aponta no sentido
.
Passo 5
A força total
sobre o anel é simplesmente a carga total
vezes
(já que em cada pedacinho do anel o campo é igual e podemos somar):