Rotações entre sistemas de coordenadas I. Considere dois sistemas de coordenadas no espaço d=2 com a mesma origem mas rotacionados, um em relação ao outro, de um ângulo varphi. (a) Considerando um vetor A arbitrário, encontre as equações que fornecem as componentes de A no novo sistema de coordenadas em termos das componentes em relação ao sistema original e verifique que essas equações são lineares.

Passo 1

O enunciado pede para achar, em 2D, as componentes de um vetor qualquer A no sistema de coordenadas que foi girado de um ângulo φ em relação ao sistema original, e mostrar que essas relações são lineares.
Conteúdo: transformação de coordenadas por rotação, produto escalar e matriz de rotação.
O que vamos precisar:
  • Saber que a componente de A numa direção é o produto escalar entre A e o vetor unitário daquela direção.
  • Conhecer os vetores unitários do sistema girado (rotacionados de φ).
  • Somar e multiplicar por escalar, para verificar linearidade.

Passo 2

Vamos chamar os eixos originais de e'x = (cosvarphi,;sinvarphi), e'y = (-sinvarphi,;cosvarphi) com vetores-unitários A'x = Acdot e'x, e . O novo sistema, girado de φ em sentido anti-horário, tem vetores-unitários:
Teoria aplicada: para achar a componente de A em , fazemos o produto escalar
e de modo análogo em .

Passo 3

Escrevendo A'x = (Ax,Ay)cdot(cosvarphi,sinvarphi) = Axcosvarphi + Aysinvarphi, , calculamos:
A'y = (Ax,Ay)cdot(-sinvarphi,cosvarphi) = -Axsinvarphi + Aycosvarphi
Pronto: essas são as equações que dão as componentes de A no sistema girado.

Passo 4

Agora, para verificar que isso é linear, note que cada A'i = Ri1,Ax + Ri2,Ay, (com ) é combinação da forma
onde é a matriz de rotação. Transformações lineares são justamente expressões em que a saída é soma de termos proporcionais às entradas. Aqui, se você somar dois vetores ou multiplicar A por escalar, as fórmulas continuam valendo, provando a linearidade.

Resposta

As componentes de boxed A'x &= Axcosvarphi ;+; Aysinvarphi, A'y &= -Axsinvarphi ;+; Aycosvarphi no sistema rotacionado em φ são
E como cada é soma de constantes vezes e , a transformação é linear.

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