Rotações entre sistemas de coordenadas I. Considere dois sistemas de coordenadas no espaço
com a mesma origem mas rotacionados, um em relação ao outro, de um ângulo
. (a) Considerando um vetor
arbitrário, encontre as equações que fornecem as componentes de A no novo sistema de coordenadas em termos das componentes em relação ao sistema original e verifique que essas equações são lineares.
Passo 1
O enunciado pede para achar, em 2D, as componentes de um vetor qualquer A no sistema de coordenadas que foi girado de um ângulo φ em relação ao sistema original, e mostrar que essas relações são lineares.
Conteúdo: transformação de coordenadas por rotação, produto escalar e matriz de rotação.
O que vamos precisar:
Conteúdo: transformação de coordenadas por rotação, produto escalar e matriz de rotação.
O que vamos precisar:
- Saber que a componente de A numa direção é o produto escalar entre A e o vetor unitário daquela direção.
- Conhecer os vetores unitários do sistema girado (rotacionados de φ).
- Somar e multiplicar por escalar, para verificar linearidade.
Passo 2
Vamos chamar os eixos originais de
com vetores-unitários
e
. O novo sistema, girado de φ em sentido anti-horário, tem vetores-unitários:
Teoria aplicada: para achar a componente de A em
, fazemos o produto escalar
e de modo análogo em
.
Passo 3
Escrevendo
, calculamos:
Pronto: essas são as equações que dão as componentes de A no sistema girado.
Passo 4
Agora, para verificar que isso é linear, note que cada
(com
) é combinação da forma
onde
é a matriz de rotação. Transformações lineares são justamente expressões em que a saída é soma de termos proporcionais às entradas. Aqui, se você somar dois vetores ou multiplicar A por escalar, as fórmulas continuam valendo, provando a linearidade.
Resposta
As componentes de
no sistema rotacionado em φ são
E como cada
é soma de constantes vezes
e
, a transformação é linear.