Produto escalar e medidas de distância. A noção de distância embutida no produto escalar está profundamente ligada à Geometria Euclideana do espaço tridimensional, ou seja, ao teorema de Pitágoras. Por essa razão, sua extensão para espaços de dimensões maiores é direta. Verifique que para vetores no espaço tridimensional, o produto escalar da forma como é definido implica em (a) |A cdot B| <=|A||B| (desigualdade de Cauchy-Schwarz) e (b) |A+B| <=|A|+|B| (desigualdade triangular).

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer mostrar duas desigualdades bem famosas no espaço tridimensional R³, usando o produto escalar.
Conteúdo:
  • Definição de produto escalar em R³:
    .
  • Norma de um vetor: .
  • O que precisamos: provar (a) a desigualdade de Cauchy–Schwarz

    e depois (b) a desigualdade triangular
    .

Passo 2

Prova da desigualdade de Cauchy–Schwarz:
  1. Considere a função de variável real De:
    4(AcdotB)^2 <= 4,|A|^2,|B|^2 Longrightarrow (AcdotB)^2 <= |A|^2,|B|^2 .
  2. Usando o produto escalar,
    l|AcdotBr|;<=;|A|;|B|,
  3. Observação chave: toda norma ao quadrado é sempre ≥0, logo .
  4. Isso quer dizer que o trinômio em

    não tem raízes reais ou tem uma raiz dupla, ou seja, o discriminante ≤ 0:
  5. Simplificando, dá
  6. Tirando raiz positiva em ambos os lados, chegamos a que é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 3

Prova da desigualdade triangular:
  1. Queremos mostrar
    |A+B|^2 ;<=;(|A|+|B|)^2 .
  2. O truque é “elevar ao quadrado” ambos os lados, mantendo a desigualdade (pois tudo é não‐negativo): 2,AcdotB ;<=;2,|A|,|B|
  3. Expanda os dois lados:
    LHS = .
    RHS = .
  4. Subtraindo de ambos os lados, resta
  5. E isso é verdadeiro porque, pela Cauchy–Schwarz,
    .
  6. Logo a versão quadrada da desigualdade está ok, e como tudo é ≥ 0, a desigualdade original vale:
    .

Resposta

(a) (Cauchy–Schwarz)
(b) (desigualdade triangular)

Exercícios relacionados