Produto escalar e medidas de distância. A noção de distância embutida no produto escalar está profundamente ligada à Geometria Euclideana do espaço tridimensional, ou seja, ao teorema de Pitágoras. Por essa razão, sua extensão para espaços de dimensões maiores é direta. Verifique que para vetores no espaço tridimensional, o produto escalar da forma como é definido implica em (a) (desigualdade de Cauchy-Schwarz) e (b) (desigualdade triangular).
Passo 1
Beleza, aqui a gente quer mostrar duas desigualdades bem famosas no espaço tridimensional R³, usando o produto escalar.
Conteúdo:
Definição de produto escalar em R³: .
Norma de um vetor: .
O que precisamos: provar (a) a desigualdade de Cauchy–Schwarz
e depois (b) a desigualdade triangular .
Passo 2
Prova da desigualdade de Cauchy–Schwarz:
Considere a função de variável real De: 4(AcdotB)^2 <= 4,|A|^2,|B|^2 Longrightarrow (AcdotB)^2 <= |A|^2,|B|^2 .
Usando o produto escalar, l|AcdotBr|;<=;|A|;|B|,
Observação chave: toda norma ao quadrado é sempre ≥0, logo ∀ .
Isso quer dizer que o trinômio em
não tem raízes reais ou tem uma raiz dupla, ou seja, o discriminante ≤ 0:
Simplificando, dá
Tirando raiz positiva em ambos os lados, chegamos aque é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 3
Prova da desigualdade triangular:
Queremos mostrar |A+B|^2 ;<=;(|A|+|B|)^2 .
O truque é “elevar ao quadrado” ambos os lados, mantendo a desigualdade (pois tudo é não‐negativo): 2,AcdotB ;<=;2,|A|,|B|
Expanda os dois lados:
LHS = .
RHS = .
Subtraindo de ambos os lados, resta
E isso é verdadeiro porque, pela Cauchy–Schwarz, .
Logo a versão quadrada da desigualdade está ok, e como tudo é ≥ 0, a desigualdade original vale: .