Uma partícula oscila em movimento harmônicc simples no eixo x. Sua posição varia com o tempo de acordo com a equação
onde
está em segundos.
a) Determine a amplitude, a frequência e período do movimento.
b) Calcule a velocidade e a aceleração da partícula em qualquer tempo
.
c) Qual é a posição e a velocidade da partícula tempo
.
a) Determine a amplitude, a frequência e período do movimento.
b) Calcule a velocidade e a aceleração da partícula em qualquer tempo
c) Qual é a posição e a velocidade da partícula tempo
Passo 1
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
- A posição da partícula varia com o tempo segundo a expressão
onde
está em segundos.
O enunciado pede:
a) Determinar a amplitude, a frequência e o período do movimento.
b) Calcular a velocidade e a aceleração da partícula para qualquer tempo .
c) Determinar a posição e a velocidade da partícula no instante .
a) Determinar a amplitude, a frequência e o período do movimento.
b) Calcular a velocidade e a aceleração da partícula para qualquer tempo
c) Determinar a posição e a velocidade da partícula no instante
Passo 2
Identificar os parâmetros da função dada comparando com a forma geral
Explicando as letras:
-
é a amplitude (máximo deslocamento em módulo). -
é a velocidade angular (em ). -
é a fase inicial (em radianos), que desloca a curva no tempo.
Comparando:
Passo 3
Como obter frequência
e período
a partir de
.
Teoria curta e necessária:
- A relação entre velocidade angular
e frequência é
Aqui
tem unidade
e
tem unidade
(ciclos por segundo).
- O período
é o tempo de um ciclo completo e satisfaz
Aplicando para
:
Passo 4
Derivar a expressão da velocidade
. Método e justificativa (cadeia + derivada de cosseno):
Regra usada: se
, então derivando em relação a
aplica-se a regra da cadeia: derivada de
é
vezes
. Aqui
e
. Logo
Substituindo os valores identificados:
Observação didática: a unidade de
é
. O valor máximo em módulo da velocidade é
; aqui
.
Passo 5
Derivar a expressão da aceleração
. Método e justificativa:
Regra usada:
. Derivando
e aplicando novamente a regra da cadeia (derivada de
é
vezes
):
Ou seja, para o caso dado,
Comentário útil: essa forma mostra a relação simples
, característica do movimento harmônico simples.
Passo 6
Calcular a posição
no instante
. Passo a passo dos números:
Usar a expressão original e avaliar em
:
Conhecimento trigonométrico necessário:
. Portanto
(Usei
para o valor aproximado.)
Passo 7
Calcular a velocidade
no instante
. Passo a passo:
Usar a expressão encontrada para
e avaliar em
:
Saber que
. Então
(Usei
e
para a aproximação.)
Passo 8
Resumo interpretativo rápido (para ajuda na prova):
- Amplitude é o coeficiente diante do cosseno; basta ler.
- Frequência vem de
; cuidado para não confundir com . - Para velocidade e aceleração, aplicar derivação com a regra da cadeia; memorizar as formas
e economiza tempo. - Avaliações em instantes específicos pedem só substituir
e usar relações trigonométricas básicas ( e de ângulos notáveis).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)