Uma partícula oscila em movimento harmônicc simples no eixo x. Sua posição varia com o tempo de acordo com a equação
x=(4,00 m) \cos \left(\pi \cdot t+\frac{\pi}{4}\right)
onde t está em segundos.
a) Determine a amplitude, a frequência e período do movimento.
b) Calcule a velocidade e a aceleração da partícula em qualquer tempo t.
c) Qual é a posição e a velocidade da partícula tempo t=0.

Passo 1

Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
  • A posição da partícula varia com o tempo segundo a expressão
x=(4,00\\ \text{m})\cos\!\left(\pi\cdot t+\frac{\pi}{4}\right),
onde t está em segundos.
O enunciado pede:
a) Determinar a amplitude, a frequência e o período do movimento.
b) Calcular a velocidade e a aceleração da partícula para qualquer tempo t.
c) Determinar a posição e a velocidade da partícula no instante t=0.

Passo 2

Identificar os parâmetros da função dada comparando com a forma geral
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi).
Explicando as letras:
  • A é a amplitude (máximo deslocamento em módulo).
  • \omega é a velocidade angular (em \text{rad/s}).
  • \varphi é a fase inicial (em radianos), que desloca a curva no tempo.
Comparando:
A=4,00\\ \text{m},\qquad \omega=\pi\\ \text{rad/s},\qquad \varphi=\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Como obter frequência f e período T a partir de \omega.
Teoria curta e necessária:
  • A relação entre velocidade angular \omega e frequência f é
\omega=2\pi f.
Aqui \omega tem unidade \text{rad/s} e f tem unidade \text{Hz} (ciclos por segundo).
  • O período T é o tempo de um ciclo completo e satisfaz
T=\frac{1}{f}.
Aplicando para \omega=\pi:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{\pi}{2\pi}=\frac{1}{2}=0,5\\ \text{Hz},
T=\frac{1}{f}=2\\ \text{s}.

Passo 4

Derivar a expressão da velocidade v(t). Método e justificativa (cadeia + derivada de cosseno):
Regra usada: se x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), então derivando em relação a t aplica-se a regra da cadeia: derivada de \cos(u) é -\sin(u) vezes u'. Aqui u=\omega t+\varphi e u'=\omega. Logo
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Substituindo os valores identificados:
v(t)=-(4,00\\ \text{m})(\pi\\ \text{rad/s})\sin\!\left(\pi t+\frac{\pi}{4}\right).
Observação didática: a unidade de v(t) é \text{m/s}. O valor máximo em módulo da velocidade é A\omega; aqui A\omega=4,00\cdot\pi\approx12,57\\ \text{m/s}.

Passo 5

Derivar a expressão da aceleração a(t). Método e justificativa:
Regra usada: a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^2x}{dt^2}. Derivando v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi) e aplicando novamente a regra da cadeia (derivada de \sin(u) é \cos(u) vezes u'):
a(t)=-A\omega\cdot\omega\cos(\omega t+\varphi)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
Ou seja, para o caso dado,
a(t)=-(4,00\\ \text{m})\pi^{2}\cos\!\left(\pi t+\frac{\pi}{4}\right).
Comentário útil: essa forma mostra a relação simples a(t)=-\omega^{2}x(t), característica do movimento harmônico simples.

Passo 6

Calcular a posição x(0) no instante t=0. Passo a passo dos números:
Usar a expressão original e avaliar em t=0:
x(0)=(4,00)\cos\!\left(\pi\cdot 0+\frac{\pi}{4}\right)=(4,00)\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Conhecimento trigonométrico necessário: \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}. Portanto
x(0)=(4,00)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2,00\sqrt{2}\\ \text{m}\approx 2,83\\ \text{m}.
(Usei \sqrt{2}\approx1,4142 para o valor aproximado.)

Passo 7

Calcular a velocidade v(0) no instante t=0. Passo a passo:
Usar a expressão encontrada para v(t) e avaliar em t=0:
v(0)=-(4,00)\pi\sin\!\left(\pi\cdot 0+\frac{\pi}{4}\right)=-(4,00)\pi\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Saber que \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}. Então
v(0)=-(4,00)\pi\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}= -2,00\sqrt{2}\,\pi\\ \text{m/s}\approx -8,89\\ \text{m/s}.
(Usei \pi\approx3,1416 e \sqrt{2}\approx1,4142 para a aproximação.)

Passo 8

Resumo interpretativo rápido (para ajuda na prova):
  • Amplitude é o coeficiente diante do cosseno; basta ler.
  • Frequência vem de \omega=2\pi f; cuidado para não confundir \omega com f.
  • Para velocidade e aceleração, aplicar derivação com a regra da cadeia; memorizar as formas v=-A\omega\sin(\omega t+\varphi) e a=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi) economiza tempo.
  • Avaliações em instantes específicos pedem só substituir t e usar relações trigonométricas básicas ( \sin e \cos de ângulos notáveis).

Resposta

(a) \displaystyle A=4,00\\ \text{m},\quad f=0,5\\ \text{Hz},\quad T=2,00\\ \text{s}.
(b) \displaystyle v(t)=-(4,00\\ \text{m})\pi\sin\!\left(\pi t+\frac{\pi}{4}\right),\quad a(t)=-(4,00\\ \text{m})\pi^{2}\cos\!\left(\pi t+\frac{\pi}{4}\right).
(c) \displaystyle x(0)=2,00\sqrt{2}\\ \text{m}\approx2,83\\ \text{m},\quad v(0)=-2,00\sqrt{2}\,\pi\\ \text{m/s}\approx-8,89\\ \text{m/s}.

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